福建省2025届高中毕业班适应性练习 数学试卷（含解析）

这是一份福建省2025届高中毕业班适应性练习 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等．若圆台的体积是圆锥的体积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ）
A．100米B．2500米C．5000米D．7500米
7．的内角的对边分别为，面积为．若且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（ ）
A．乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的2倍
B．乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的2倍
C．乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的2倍
D．乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的2倍
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．
D．
11．在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，直线与曲线交于，且．下列说法正确的是（ ）
A．
B．的取值范围是
C．与的面积相等
D．若的周长等于的周长的2倍，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
13．已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数即可）
14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．数列的前项和为，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的最大值．
16．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得．
(1)证明：平面平面；
(2)已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角．
17．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率；
(2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率．
18．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，讨论在的单调性；
(2)曲线上是否存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形？证明你的结论．
19．已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题：
（i）过定点；
（ii）不可能为锐角三角形．
条件：①直线和的斜率之和为；
②直线和的斜率之积为；
③直线和的斜率之商为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为,
所以,
则.
故选C.
2．【答案】D
【详解】，，
所以，
，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】①若，则，，
所以”是“”的充分条件；
②若，则或，解得或或.
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去，
所以或，所以”是“”的不必要条件，
所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件，
故选A.
4．【答案】A
【详解】当时，等式两边不成立，故，
对等式进行变形可得，
因为在和上单调递增，
故，
故选A.
5．【答案】B
【详解】设圆锥的底面面积为，圆台另一个底面的面积为，高为，
则圆台的体积为：，圆锥的体积为：，
由题意可知：，
即：，变形可得：，
解得：（负值舍去），则.
故选B.
6．【答案】C
【详解】由题意可得，
所以，，
设大气压强从250百帕增加1倍到500百帕，海拔高度降低米，
则，所以，
所以，即，
所以，所以.
故选C.
7．【答案】A
【详解】由得，
又,故，
所以,故，
由于，则，不可能是钝角，
由于,所以，
故选A.
8．【答案】B
【详解】如图设，以为直径的圆的圆心为，
则，

又，得到，所以，
因为，得到，
又，
因为的最大值为，所以，
所以的离心率为，
故选B.
9．【答案】AD
【详解】A选项，甲组数据的极差为，则乙组样本数据的极差是，
乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的2倍，故A正确；
B选项，设甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为，故B错误；
C选项，设甲组数据的平均数为，则乙组数据的平均数为，故C错误；
D选项，甲组数据的标准差为，则乙组数据的标准差为，故D正确.
故选AD．
10．【答案】ABD
【详解】由题意，可得，所以，
根据得图象过点，可得，解得，
令，可得，所以，
由，为奇函数，所以A正确；
由，是偶函数，所以B正确；
由，周期为2，，
，
因为函数单调递减，所以，所以，所以C不正确；
由，所以D正确.
故选ABD .
11．【答案】ACD
【详解】根据题意可作出图象，
因为直线与曲线交于，
如图作直线关于轴的对称直线，
作曲线关于轴的对称曲线，
则直线与曲线的交点为.
又因为直线与直线关于直线对称，
曲线与曲线也关于直线对称，
所以点和点分别与点和点关于直线对称，
则有
对于A，，
同理，.
即，所以，故A正确；
对于B，当直线与曲线相切时，设切点为，
则有，解得，
由图象可知，直线与曲线有两个不同的交点，则必有.
故B错误；
对于C，，，
根据对称性可知，，
所以，故C正确；
对于D，若的周长等于的周长的2倍，由A项可得，
即有，由可得，
两边取对数，可得，则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，即，
所以该抛物线的标准方程为.
13．【答案】（答案不唯一）
【详解】由，
所以是上的增函数且也是奇函数，构造，
所以满足条件.
14．【答案】/
【详解】由题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
15．【答案】(1)；
(2)1.
【详解】（1）∵①，
∴②，
①②得：，，
①中令n＝2，则，∴，
为首项为1，公比为2的等比数列，
∴.
（2）由（1）知：，
则，
所以
所以当时，有最大值.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：因为在中，,
由正弦定理可得，
即，解得，
因为，所以，所以，
在中，，
所以，所以，
又因为平面，且，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：取中点，连接，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
由（1）可知平面，又因为，所以平面，
平面，所以，
所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，
设，
所以，
则，
又因为,
所以直线的距离
，
又因为，
所以，
解得或(舍)，
所以，
因为，，
设平面的法向量为，
则有，
取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
又因为，所以，
所以直线与平面所成的角为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知：
，，，，
又，所以，
（2）设平台向该用户推送为事件，
则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：，
因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以，
因为，所以，
即，
所以.
18．【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）由得，，
所以．依题意，得，所以，此时，
所以当时，；当时，，且．
所以当时，，当且仅当时，；
当时，．故在单调递增，在单调递减．
（2）曲线上存在四个点，使得以这四点为顶点的四边形是平行四边形．
证明如下：
取，
因为，
所以四点都在曲线上．
因为，所以，
因为，
所以与不共线，
所以四边形为平行四边形．
所以曲线上存在四个点，使得四边形为平行四边形.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为．
则，
已知，即．
因为在线段外，所以，
则，整理可得曲线的方程为．
（2）选择①作为条件.
设，则，其中．
因为直线和的斜率之和为，故直线的斜率等于的斜率，
故，故，
故即，故，故，
则关于原点对称，故过原点，与题设矛盾，故不选①.
选择②作为条件．
（i）设，则．
显然的斜率不为零，否则有，
此时，与直线和的斜率之积为6，矛盾．
故可设，由得，
依题意，且，
∴且．
由得，
∴，
∵直线和的斜率之积为6，∴，
即，，，解得．
此时恒成立，∴，过定点．
（ii）由（i）知，．
①当，即时，，∴均在的右支，如图．
此时
，
∴是钝角，是钝角三角形．
②当，即或时，，
∴分别在的两支．不妨设在的右支，则，如图．
设，则，
∴．
∵过点，∴，
∴是钝角，是钝角三角形．
综上可知，不可能是锐角三角形．
选择③作为条件．
（i）设，则．
显然的斜率不为零，否则，
∵直线和的斜率之商为2，∴，
从而有，解得，此时重合，与题设矛盾．
故可设，
由得，
依题意，且，
∴且．
由得，
∴，
因为直线和的斜率之商为2，所以.
∵点在上，∴，即，∴，
即，
解得．此时恒成立，∴，过定点．
（ii）同条件②的（ii）.