河南省郑州市2024届高三第二次质量预测 数学试题

这是一份河南省郑州市2024届高三第二次质量预测 数学试题，共10页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知全集，集合A满足，则
A．B．C．D．
2．数据6.0，7．4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位数为
A．8.5B．8.6C．8.7D．8.8
3．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则
A．或36B．C．36D．18
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数（），则下列说法正确的是
A．的一个周期为B．的最大值为
C．的图象关于点对称D．在区间上有2个零点
6．在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和，0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙，丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系xOy中，设，，动点P满足，则的最大值为
A．B．C．D．
8．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为
A．B．C．D．
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为B，下列说法正确的是
A．B．
C．向量对应的复数是1D．
10．如图，在矩形中，，，点C，D，E与点，，分别是线段AB与的四等分点．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段与重合，则以下说法正确的是
A．直线与异面B．AE∥平面
C．直线与平面垂直D．点到平面的距离为
11．已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则
A．B．为偶函数
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．抛物线的准线方程为，则实数a的值为 ．
13．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边 ，点D在线段AB上，且的最大值为 ．
14．已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．
（Ⅰ）求前3局比赛甲都取胜的概率；
（Ⅱ）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．
16．（15分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
17．（15分）
如图，在多面体DABCE中△ABC是等边三角形，，．
（Ⅰ）求证：BC⊥AE；
（Ⅱ）若二面角A—BC—E为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值．
18．（17分）
已知椭圆E：（）过点，且焦距为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
①证明：直线MN必过定点﹔
②若弦AB，CD的斜率均存在，求△MNS面积的最大值．
19．（17分）
已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个．
（Ⅰ）写出所有4的1增数列；
（Ⅱ）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
（Ⅲ）若存在100的k增数列，求k的最大值．
郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）
一、单选题
二、多选题
三、填写题
12．
13．，
14．
15．解：
（1）前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，
故前3局甲都不下场的概率为．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．
其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；
表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，
则；
所以X的分布列为
故X的数学期望为．
16．解：
（1）函教定义域为，，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以．
此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点．
所以．
（2）当时，，则函数的单调增区间为；
当时，，
因为，，则，
令得；令得；
函数的单调减区间为，单调增区间为．
综上可知：
当时，函数在上单调递增，无递减区间；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
17．证明：取BC中点O，连接AO，EO．
∵△ABC是等边三角形，O为BC中点，
∴AO⊥BC，
又，∴EO⊥BC，
∵，
∴BC⊥平面AEO，
又平面AEO，
BC⊥AE．
（2）连接DO，则DO⊥BC，
由，得
，，
又，∴，
∴DO⊥AO，
又，
∴DO⊥平面ABC．
如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量为，则，即，
取，则．
∵∠AOE是二面角A—BC—E的平面角，
∴，
又，
∴，，
则，
∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为．
18．解：
（1）依题意有，，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设：（），，，则：（），
联立，故，
，，
故，
由代替m，得，
当，即时，：，过点．
当，即时，
，：（，），
令，，
∴直线MN恒过点．
当，经验证直线MN过点．
综上，直线MN恒过点．
（3）
，
令，，
∵在上单调递减，
∴，
当且仅当，，时取等号．
故△MNS面积的最大值为．
19．解：
（1）由题意得，则或，
故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3．
（2）当时，因为存在m的6增数列，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且．
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以．
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合m的6增数列．
所以，当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7．
（3）若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列中存在大于1的项，
若首项，将拆分成个1后k变大，
所以此时k不是最大值，所以．
当，3，…，n时，若，交换，的顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以．
若，所以，
所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，
所以此时k不是最大值，所以．
若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，
将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，
所以此时k不是最大值，
所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式．
设其中有x项为1，有y项为2，
因为存在100的k增数列，所以，
所以，
所以，当且仅当，时，k取最大值为1250．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
D
C
C
A
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ACD
X
0
1
2
3
P