安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测 数学试卷

这是一份安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测 数学试卷，共8页。
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 若空间中三条不同直线，，满足，，则是，，共面的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，，设，，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ）
A. B. 8C. 12D. 16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ）
A B. C. 事件，互斥D.
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 与的图象关于直线对称
B. 与的图象关于点对称
C. 当时，
D. 当时，与的图象恰有4个交点
11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. ，
C. 的图象关于点对称D. 为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________．
13. 已知函数的最小值为，则____________．
14. 如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16. 如图，三棱柱所有棱长都为2，,是的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
18. 已知抛物线，，点在上．
（1）求的最小值；
（2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．
（ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（ⅱ）证明直线过定点．
19. 当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．
（1）若的分布列为，，，求的最大值；
（2）证明：；
（3）若，且为定值，设，证明：．
2025年合肥市高三第二次教学质量检测
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】7
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1），；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）取最小值为
（2）（ⅰ）直线斜率的取值范围为；
（ⅱ）证明见解析．
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析