安徽省合肥市2025届九年级下学期春季开学模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市2025届九年级下学期春季开学模拟考试数学试卷(含答案)，共12页。
A．B．
C．D．
2．（4分）将抛物线y=12（x+1）2﹣1平移后得到抛物线y=12x2，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
3．（4分）若函数y＝x2+3x+2的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列说法正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
4．（4分）已知sinα+csα=75，0°＜α＜45°，则tanα＝（ ）
A．34B．43C．34或43D．35
5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是（ ）
A．DEBC=13
B．△ADE的周长△ABC的周长=13
C．△ADE的面积△BCD的面积=13
D．△CDE的面积△BCD的面积=13
6．（4分）如图，双曲线y1=kx与直线y2＝ax相交于A，B两点，点A的坐标为（2，m），若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2或﹣1＜x＜0B．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
C．x＞2或﹣2＜x＜0D．x＜﹣2或0＜x＜2
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝c，∠A＝β，则CD长为（ ）
A．c•sin2βB．c•cs2β
C．c⋅sinβ⋅csβD．c⋅sinβ⋅tanβ
8．（4分）如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（ ）
A．32-2B．6﹣22C．23D．4-3
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0．其中，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A．67B．217C．10D．12
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如果ab=23且a≠2，那么a-b-1a+b+5的值为 ．
12．（5分）如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC，若∠C＝40°，则∠A的度数为 ．
13．（5分）如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，E点在AB上且AE＝2BE，点F在线段BC上，过F作EF的垂线，交射线AC于G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝ ．
14．（5分）已知点P为反比例函数y=6x图象上的一点，点P到y轴的距离为2，则经过点P和点A（4，0）的一次函数解析式为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：（﹣1）2023+sin60°﹣|1-3|．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，求△A1B1C1的面积．
17．（8分）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为8m，拱高CD（AB的中点到水面的距离）为2m．
（1）求AB所在圆的半径；
（2）若水面下降1m，求此时水面的宽度（保留根号）．
18．（8分）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
19．（10分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12，求此人所在位置点P的铅直高度．（结果精确到0.1米，tan53°取43，tan63.4°取2）
20．（10分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；
（3）若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．
21．（12分）如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE于点F，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2．
（1）求证：△BDF∽△ECF；
（2）求DF的长．
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小时的点P的坐标．
23．（14分）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB=5-12叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，△ABC都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形ABCD是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．以AD为边，作平行四边形ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若DE＝EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
参考答案
1-10
B
C
A
A
C
C
C
A
C
C
11.-15．
12.25°．
13.4或8．
14.y=-32x+6或y=12x﹣2．
15.解：（﹣1）2023+sin60°﹣|1-3|
＝﹣1+32-（3-1）
＝﹣1+32-3+1
=-32．
16.解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为12×(4+8)×4-12×2×4-12×2×8=24﹣4﹣8＝12．
17.（1）解：如图，设AB⌢所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
∵D是AB⌢的中点，CD⊥AB，即OD为圆的半径，
∴AC=BC=12AB=4m，
设OA＝OD＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故AB⌢所在圆的半径为5m；
（2）解：如图，连接OF，设OD与EF交于点G，则∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣2＝2（m），OF＝5m，
∴FG=52-22=21m，
∴EF=2FG=221m，
故此时水面的宽度为221m．
18，解：（1）根据题意可得：y＝30+10x（0≤x≤5）；
（2）设每天利润为W元，根据题意可得：
W＝（10﹣x﹣5）（30+10x）＝﹣10x2+20x+150＝﹣10（x﹣1）2+160，
∵﹣10＜0，
∴x＝1时，W最大值＝160．
答：每个文具降1元时，每天的销售利润最大，最大利润160元．
19.解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PF⊥BD，垂足为F，
则PF＝BE，PE＝BF，
∵山坡坡度i＝5：12，
∴PFCF=512，
设PF＝5k，CF＝12k，
在Rt△ABC中，∠ACB＝63.4°，BC＝90米，
∴AB＝BC•tan63.4°＝90×2＝180（米），
∴AE＝AB﹣BE＝（180﹣5k）米，
在Rt△AEP中，∠APE＝53°，
∴tan53°=AEEP=180-5k90+12k=43，
∴k=207，
经检验，k=207是原方程的根，
∴PF＝5k=1007≈14.3（米），
∴此人所在位置点P的铅直高度为14.3米．
20.（1）证明：∵∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝PA．
∵∠APT＝60°，
∴△APT是等边三角形，
∴AP＝AT，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠PAT＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠TAC，
∴△PAB≌△TAC（SAS），
∴PB＝TC＝2，
∵PT＝PA＝3，
∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；
（3）解：在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝23，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝43，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
21.（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠BDF＝∠ECF，
∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF；
（2）解：∵△BDF∽△ECF；
∴DF：CF＝BD：CE，
即DF：2＝8：4，
∴DF＝4．
22.解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线 y＝x2+bx+c可得方程组1-b+c=0c=-3，
解得：b=-2c=-3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
∴另一个交点B的坐标为（3，0）；
（2）如图，作抛物线的对称轴与直线BC交于点P，则交点P就是所求的点．
设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
3k+m=0m=-3，解得：k=1m=-3，
∴直线BC的函数式为y＝x﹣3，
∵抛物线对称轴为直线x=--22=1，
当x＝1时，y＝﹣2，
即点P（1，﹣2）．
23.活动一：解：如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
活动二：证明：∵在▱ADEF中，DE＝EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD＝AF＝DE，EF∥AB，DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEB＝∠ACB＝90°，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠DEB＝90°，
∴△ACD≌△DBE（ASA），
∴AC＝BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．