安徽师大附中2025年高考数学质检试卷（4月份）（含解析）

这是一份安徽师大附中2025年高考数学质检试卷（4月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2,3}，B={x|y=lnx x2−1}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {−2,2,3}C. {2,3}D. {1,2,3}
2.若z=1−i3i5，则z+z−=( )
A. −2iB. 2iC. −2D. 2
3.设00时，f(x)≥−1
C. 若f(x)有3个零点，则a的取值范围是(0,34)
D. 若存在s，t∈R，满足f(s−t)+f(s+t)=2f(s)，则st=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C：mx2+(m+1)y2=1的渐近线方程为y=±2x，则C的焦距为______．
13.设函数f(x)=a|x|+2|a|，g(x)=ex+e−x，若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个公共点，则a= ______．
14.已知正三棱锥D−ABC的各顶点均在半径为1的球O的球面上，则正三棱锥D−ABC内切球半径的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高(单位：cm)和体重(单位：kg)，得到如下数据：
(1)若两组变量间的样本相关系数r满足0.8≤|r|0)．
(1)若f(x)是增函数，求a的取值范围；
(2)若x1，x2为f(x)的两个极值点，求f(x1)f(x2)的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2 6，PA=4，E，F分别为PB，PD的中点．
(1)证明：平面PAC⊥平面CEF；
(2)若点G在棱PD上，当直线CG与平面AEC所成角取最大值时，求PG．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为 22，过点P(2,0)的直线l交C于A，B两点(B在线段AP上)，当直线l的斜率为0时，|PA|=(3+2 2)|PB|．
(1)求C的方程；
(2)求△FAB面积的最大值；
(3)过A且与x轴平行的直线与直线FB交于点M，证明：线段MA的中点在定直线上．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足an≥0，且(2an+2−an+1−an)(an+2−2an+1+an)=0．
(1)若a4=2a2=4a1=4，求满足条件的a3的值；
(2)设集合A={n|an=0}，
(ⅰ)若A={1,4,7}，证明：a2，a5，a8成等比数列；
(ⅱ)若A={i,j,k}(其中i>j>k>3)，且a2=a1+1，求ai+1的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={−2,−1,0,1,2,3}，
因为B={x|y=lnx x2−1}，即x>0x2−1>0，解得x>1，
所以B={x|y=lnx x2−1}={x|x>1}，
则A∩B={2,3}．
故选：C．
将集合B化简，再由交集的运算，即可得到结果．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z=1−i3i5=1+ii=(1+i)ii2=1−i，
∴z−=1+i，
则z+z−=(1+i)+(1−i)=2．
故选：D．
先利用i3=−i，i5=i化简，再利用复数的除法运算求z，再求出z−，最后利用复数的加法运算即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得sin2θcsθ=1−cs2θcsθ=1，
解得cs2θ+csθ−1=0，
又因为00，得00，解得m2>2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−4mm2+2，y1y2=2m2+2，
因为S△FAB=S△PAF−S△PBF=12×|PF|×|y1−y2|=12×1× (y1+y2)2−4y1y2
=12 (−4mm2+2)2−4⋅2m2+2= 2 m2−2m2+2，
令 m2−2=t，所以S△FAB= 2tt2+4= 2t+4t≤ 24，当且仅当t=2时取等号，
所以△FAB面积的最大值为 24；
(3)证明：直线FB：x=x2−1y2y+1，
联立x=x2−1y2y+1y=y1，解得xM=x2−1y2y1+1=my2+1y2y1+1=my1y2+y1+y2y2，
所以线段MA的中点横坐标为x0=12(my1y2+y1+y2y2+my1+2)=2my1y2+y1+3y22y2，
所以x0=2m2m2+2−4mm2+2+2y22y2=1，
所以线段MA的中点在直线x=1上．
(1)列出关于a，b，c的方程，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，然后表示出三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到结果；
(3)根据题意，联立直线FB与直线y=y1，表示出点M的横坐标，然后表示出MA中点横坐标，即可证明．
本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
19.【答案】3；
(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)164．
【解析】解：(1)由题意可知：an+2=an+1+an2或an+2=2an+1−an，
且a4=2a2=4a1=4，
若a3=a1+a22=32，则a4=a2+a32=74或a4=2a3−a2=1，显然不合题意；
若a3=2a2−a1=3，则a4=2a3−a2=4，符合题意；
所以a3=3．
(2)(ⅰ)证明：由题知a1=a4=a7=0，当n≠1，4，7时，an>0，
若a4=a2+a32，则与a2>0且a3>0矛盾，
所以a4=2a3−a2=0，所以a3=12a2，
若a5=2a4−a3=−a30且a5>0矛盾，
所以a5=a4+a32=a32=14a2，同理可得a8=12a6=14a5=116a2，
所以a2，a5，a8成公比为14的等比数列；
(ⅱ)由(2an+2−an+1−an)(an+2−2an+1+an)=0
可推得，an+2−an+1an+1−an=−12或an+2−an+1an+1−an=1，
对于任意正整数m，n(m0，ai+1>0，ai−1>0，
若ai=ai−1+ai−22，则与ai−1>0且ai−2>0矛盾，所以ai=2ai−1−ai−2，
因为ai−1>0且ai−2>0，所以j≠i−1且j≠i−2，所以j≤i−3，
因为ai+1−ai=ai+1>0，ai−ai−1=−ai−1