安徽省师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期4月质量检测数学试卷（Word版附解析）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知函数（其中表示不超过最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）
A. B. C. D.
8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A. 96B. 98C. 100D. 102
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数和，则（ ）
A. 和的最小正周期相同
B. 和在区间上的单调性相同
C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象
D. 和的图象关于直线对称
10. 已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（ ）
A.
B. 若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10
C. 若，则
D. 的最大值为
11. 设，函数，则（ ）
A 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为______.
13. 设函数，，若曲线与恰有个公共点，则______.
14. 已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：
（1）若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）；
（2）建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）.
参考数据：，，，，.
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.
16. 设函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）若，为的两个极值点，求的取值范围.
17. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求.
18. 已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，.
（1）求方程；
（2）求面积的最大值；
（3）过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.
19. 已知数列满足，且.
（1）若，求满足条件的的值；
（2）设集合，
（ⅰ）若，证明：，，成等比数列；
（ⅱ）若（其中），且，求的最大值.样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
均值
身高
165
157
156
173
163
159
177
161
165
164
体重
53
46
48
56
57
49
60
45
54
52