广东省广州四中2025届高三（下）4月月考数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州四中2025届高三（下）4月月考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|1b>0)与抛物线C：y2=2px(p>0)，椭圆E与抛物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点，则椭圆E的离心率为( )
A. 2−1B. 22C. 2−12D. 5−12
6.已知角α，β满足tanα=m，2sinβ=cs(α+β)sinα，则tanβ=( )
A. m1+3m2B. m2+3m2C. 1+3m2mD. 2+3m2m
7.下列结论正确的是( )
A. 若数列{an}的前n项和Sn=n2−2n+1，则数列{an}为等差数列
B. 若数列{an}为等比数列，且前n项和Sn=t⋅3n−1+1，则t=−3
C. 若数列{an}为单调递增的等比数列，则公比q>1
D. 若a，b，c是不全相等的非零实数，且a，b，c成等差数列，则1a,1b,1c能构成等差数列
8.已知函数f(x)=sin2ωx+ 32sin2ωx−12(ω>0)，它的两个相邻的极值点之间的距离为 π24+4.若先将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图像，则y=g(x)−|lg4x|在(0,+∞)上的零点个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)=0.88
B. 样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11
C. 某分层抽样有2层，第1层样本数为25，其平均数和方差分别为176和14，第2层样本数为15，其平均数和方差分别为160和30，则总方差为80
D. 已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3...)的经验回归方程为y =2x+a ，若样本点(m,3)与点(2,n)的残差相等，则2m+n=7
10.已知函数f(x)对任意的x，y∈R都有f(x+y)−f(x−y)=2f(y)，f(1)=1，且当x>0时，f(x)>0，则下列结论正确的是( )
A. f(5)=1
B. f(x)是奇函数
C. f(2nx)=2nf(x)
D. 不等式f(x2−x−2)>4的解集是(−∞,−2)∪(3,+∞)
11.已知直棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，则下列说法正确的是( )
A. MD1⊥AC
B. 若直线DM与直线CA1所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分
C. 当λ=μ=12时，三棱锥M−BCD的外接球的体积为20 53π
D. 记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则|AM|+d的最小值为 3+ 72
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的第5项是( x−13x)6的展开式中的常数项，则该数列的前9项和S9= ______．
13.若曲线y=ln(2x+2)在(−12,0)处的切线也是曲线y=ex+x+a的切线，则a= ______．
14.项数为m的数列{an}满足ai∈{0,1}(i=1，2，…，m)，当且仅当ai−1=ai+1时ai=0(其中i=1，2，…，m，规定：a0=am，am+1=a1)，称{an}为“好数列”.在项数为6且ai∈{0,1}(i=1，2，…，6)的所有{an}中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b−c=2acsC．
(1)求A的大小；
(2)若a= 6，∠BAC的平分线AD交BC于点D，且AD=1，求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作D(Y)，(2)中X的方差记作D(X)，比较D(X)与D(Y)的大小．
(结论不要求证明)
17.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，且满足AB⊥BC，AB//CD,AB=2BC=2CD=2 2,PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若PA=PD，点M在线段PB上，当二面角M−AD−P大小为π4时，求四棱锥M−ABCD的体积．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−1，a∈R．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，f(x)≥xlnx恒成立，求a的取值范围；
(Ⅲ)当a=1时，设g(x)=f(x)−x2，证明：g(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点x0且g(x0)>−34．
参考数据：e3≈20.09．
19.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=± 3x，且经过点( 2, 3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P0(3,0)作两条互相垂直的直线(两条直线的斜率都存在)分别交双曲线C于点A1、B1和点C1、D1，M1、N1分别为弦A1B1和C1D1的中点，直线M1N1与x轴交于点P1(t1,0)；过点P1(t1,0)作两条互相垂直的直线(两条直线的斜率都存在)分别交双曲线C于点A2、B2和点C2、D2，M2、N2分别为弦A2B2和C2D2的中点，直线M2N2与x轴交于点P2(t2,0)…；依此类推得到点列Pn(tn,0)，n∈N*．
(i)求数列{tn}的通项公式；
(ii)Qn、Rn分别在双曲线的左支和右支上，且直线QnRn经过点Pn，当n≥2，n∈N*时满足：①直线Qn−1Rn−1的倾斜角总是π4；②点Qn−1和Rn关于y轴对称.设点Rn的坐标为(xn,yn)，数列{xn+12+xn2}的前n项和为Sn.证明：Snm}，∴∁RB={x|x≤m}，
又∵集合A={x|10)与抛物线C：y2=2px(p>0)，
且椭圆E与抛物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点，
所以抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点可得c=p2，
椭圆E与抛物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，所以c2a2+(2c)2b2=1，
由c2=a2−b2，e=ca，
化简整理可得e4−6e2+1=0，
解之可得e2=3−2 2=( 2−1)2，或e2=3+2 2(舍)，
所以可得e= 2−1．
故选：A．
根据抛物线的准线时椭圆的左焦点可求出c=p2，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知c2a2+(2c)2b2=1，化简可得关于e方程，求解即可．
本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：法一：由2sinβ=cs(α+β)sinα，根据两角和的余弦公式可得，
2sinβ=(csαcsβ−sinαsinβ)sinα=sinαcsαcsβ−sin2αsinβ，
则2sinβ=sinαcsαcsβ−sin2αsinβsin2α+cs2α=tanαcsβ−tan2αsinβtan2α+1，
将tanα=m代入并整理，得(3m2+2)sinβ=mcsβ，解得tanβ=m2+3m2；
法二：因为sinβ=sin(α+β−α)=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα，
又2sinβ=cs(α+β)sinα，
所以2sin(α+β)csα−2cs(α+β)sinα=cs(α+β)sinα，
即2sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα，则2tan(α+β)=3tanα．
又因为tanα=m，所以tan(α+β)=32tanα=32m，
则tanβ=tan(α+β−α)=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=32m−m1+32m⋅m=m2+3m2．
故选：B．
其一，采用两角和的余弦公式对等式右边化简，再结合齐次化思想即可；其二，利用两角和的正弦公式将等式左侧式子进行展开化简即可．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：对于A，已知Sn=n2−2n+1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−2n+1−[(n−1)2−2(n−1)+1]
=n2−2n+1−(n2−2n+1−2n+2+1)=n2−2n+1−(n2−4n+4)=2n−3．
当n=1时，a1=S1=12−2×1+1=0，不符合上式，
所以an=0,n=12n−3,n≥2，
所以数列{an}不是等差数列，故A错误；
对于B，已知数列{an}为等比数列，且前n项和Sn=t⋅3n−1+1=t3⋅3n+1．
等比数列前n项和公式为Sn=A⋅qn−A(A≠0,q≠1)，对比可得t3=−1，解得t=−3，故B正确；
对于C，若等比数列{an}的首项a10时，f(x)>0，
则f(x1)−f(x2)=2f(x1−x22)>0，所以f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在R是增函数，
又由f(2x)=2f(x)，f(4)=2f(2)=4，
则不等式f(x2−x−2)>4，即为f(x2−x−2)>f(4)，
则x2−x−2>4，解得x3，
即不等式f(x2−x−2)>4的解集是(−∞,−2)∪(3,+∞)，故D正确．
故选：BCD．
利用赋值法，求出f(5)，判断A；利用赋值法结合函数奇偶性的定义，判断B；利用赋值法判断C；根据函数单调性的定义证得f(x)为R上的增函数，利用单调性求得不等式的解集．
本题考查抽象函数奇偶性相关知识，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：因为BM=λBD+μBB1(0≤λ≤1,0≤μ≤1)，
所以点M在平面BDD1内，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又因为直棱柱，所以AC⊥DD1，又因为BD∩DD1=D，BD⊂平面BDD1，
DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，又MD1⊂平面BDD1，
所以MD1⊥AC，故A正确；
对于选项C，
当λ=μ=12时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面ABCD垂直
且到底面距离为1，因为DB=BC=2,∠BCD=2π3，所以△BCD的外接圆半径
为r=12×2 3sin2π3=2，设外接球半径为R，球心到平面BCD的距离为h，
则OC2=CE2+OE2，EM2=EF2+MF2，
即R2=12+(h+1)2，R2=h2+22，两式联立得h=1,R= 5，
故外接球体积为4π3R3=4π3×( 5)3=20 53π，故C正确；
对于选项D，
当λ+μ=1时，则D，M，B1三点共线，即点M在线段B1D上，如图建立空间直角坐标系，
则C( 3,1,0),B( 3,−1,0),D(0,2,0),B1( 3,−1,2)，BD=(− 3,3,0),BB1=(0,0,2)，
则BM=λBD+μBB1=λ(− 3,3,0)+μ(0,0,2)=(− 3λ,3λ,2μ)，
故M( 3− 3λ,3λ−1,2μ)，则AM=( 3− 3λ,3λ−1,2μ)，
又λ+μ=1⇒μ=1−λ得d= AM2−(AM⋅AC|AC|)2= ( 3− 3λ)2+(3λ−1)2+(2μ)2−14(3−1)2= 16λ2−20λ+8，|AM|=|AM|= 16λ2−20λ+7，
故|AM|+d= 16λ2−20λ+7+ 16λ2−20λ+8，
当且仅当λ=58时，(|AM|+d)min= 3+ 72，故D正确；
对于选项B，DM=( 3− 3λ,3λ−3,2μ)，A1(0,0,2)，CA1=(− 3,−1,2)，
cs=DM⋅CA1|DM|⋅|CA1|=μ 6(λ−1)2+2μ2，
由(1)可知，平面BDD1B1的一个法向量为AC=( 3,1,0)，
设直线CA1与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ=|CA1⋅AC||CA1|⋅|AC|=42 2×2= 22，
设|cs|=k，
由于θ是直线CA1与平面BDD1B1内所有直线中所成角的最小值，
所以，0≤k≤ 22，
由|cs|=|μ| 6(λ−1)2+2μ2=k，
化简可得6k2(λ−1)2=(1−2k2)μ2，且0≤1−2k2≤1，
易知点P为平面BDD1B1内的一点，
当k= 22时，则λ=1，此时，点P的轨迹为平面BDD1B1内的一条线段；
当k=0时，则μ=0，此时，点P的轨迹为平面BDD1B1内的一条线段；
当0D(X)．
【解析】解：(1)设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则P(A)=40120=13．
(2)因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为6×40120=2，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
所以X的分布列为：
E(X)=0×615+1×815+2×115=1015=23．
(或X～B(N,n,M)，则 E(X)=n×MN=2×26=23)
(3)由(2)可得D(X)=(0−23)2×25+(1−23)2×815+(2−23)2×115=1645；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y～B(2,13)，
可得D(Y)=2×13×23=49．
因此D(Y)>D(X)．
(1)有古典概型计算可得结果；
(2)利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得X的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值(或利用超几何分布计算可得结果)；
(3)由(2)可得D(X)，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y～B(2,13)，可得D(Y)．
本题主要考查古典概型概率公式，离散型随机变量分布列，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：连接BD，

在直角梯形ABCD中，易得BD=2，AD=2，
又因为AB=2 2，所以BD2+AD2=AB2，所以BD⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA，又因为PA⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，
所以PA⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，
所以PA⊥PB．
(2)解：如图，取AD的中点O，AB的中点G，连接OP，OG，
由题意可得OP⊥AD，OG⊥AD，OP=1，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0),D(−1,0,0),B(−1,2,0),P(0,0,1),AD=(−2,0,0),AM=(−λ−1,2λ,1−λ)，
设PM=λPB，则M(−λ,2λ,1−λ)，
设m=(x,y,z)为平面MAD的一个法向量，
则m⋅AD=−2x=0m⋅AM=(−λ−1)x+2λy+(1−λ)z=0，
令y=1，则平面MAD的一个法向量m=(0,1,2λλ−1)，
易得平面PAD的一个法向量n=BD=(0,2,0)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=22× 1+4λ2λ2−2λ+1= 22，
解得λ=13或λ=−1(舍)，
即M为PB的靠近P的三等分点时，二面角M−AD−P的平面角为π4，
PO⊥平面ABCD，且PO=1，
所以M到平面ABCD的距离为23，又四边形ABCD的面积为3，
所以四棱锥M−ABCD的体积VM−ABCD=13SABCDh=13⋅3⋅23=23．
【解析】(1)由面面垂直的性质定理得到BD⊥PA，再由线面垂直的判定定理证明PA⊥平面PBD可得到；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAD和平面PAD的一个法向量，代入空间二面角公式解出λ，再由棱锥的体积公式求解即可．
本题主要考查面面垂直的性质定理，二面角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
18.【答案】(I)答案见解析；
(II)(−∞,e−1]；
(III)证明见解析．
【解析】解：(I)因为f(x)=ex−ax−1其中x∈R，f′(x)=ex−a．
①当a≤0时，f′(x)=ex−a>0恒成立，f(x)的增区间为(−∞,+∞)，无减区间；
②当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna，由f(x)ha．
此时，函数f(x)的减区间为(−∞,lna)，增区间为(lna,+∞)．
综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(−∞,+∞)，无减区间；
当a>0时，函数f(x)的减区间为(−∞,lna)，增区间为(hna,+∞)．
(II)当x∈(0,+∞)时，ex−ax−1≥xlnx恒成立，即a≤ex−xlnx−1x恒成立．
令h(x)=ex−xlnx−1x，则h′(x)=(x−1)(ex−1)x2，其中x>0，由h(x)−(32)2+32=−34．
(I)求得f′(x)=ex−a分a≤0、a>0两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数f(x)的增区间和减区间；
(II)由已知不等式结合参变分离得出a≤ex−xlnx−1x对任意的x>0恒成立，利用导数求出函数h(x)=ex−xlnx−1x在(0,+∞)上的最小值，即可得出实数a的取值范围；
(III)当a=1时，利用导数分析函数g(x)的单调性，利用极值点与导数的关系结合零点存在定理可证得g(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点x0，并可得出ex0−2x0−1=0，再结合二次函数的基本性质可证得g(x0)>−34
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
19.【答案】x2−y23=1；
(ⅰ)tn=3(−12)n；(ⅱ)证明见解析．
【解析】解：(1)双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=± 3x，且经过点( 2, 3)．
故得ba= 3，即b= 3a，
又双曲线C经过点( 2, 3)，解得a=1，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)令t0=3，设两条直线的方程分别为y=k(x−tn)(k≠0)和y=−1k(x−tn)，
设An+1(x1,y1)，Bn+1(x2,y2)，由y=k(x−tn)x2−y23=1得(3−k2)x2+2k2tnx−k2tn2−3=0，
由Δ>0，得3−k2≠0，k2−3