2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）（含答案）

这是一份2025年山东省名校高考数学校际联考试卷（4月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|2x2−x−1≤0}，B={x||x−1|0)的焦点的直线与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=18，△OAB的面积为9 32，则实数p的值为______．
14.已知直线y=kx+7(k∈R)与曲线y=3x−lnx相切，则k= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知m=( 3sinx,2cs(x−π2))，n=(2csx,sinx)，函数f(x)=3−m⋅n．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，若f(A)=0，BC= 7，且△ABC的面积为3 32，求AB+AC．
16.(本小题15分)
如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P，Q分别在线段BM，AC上，且BP=2PM，AQ=2QC．
(1)求证：PQ//平面BCD；
(2)若AD=BD=2CD=6，BC=3 3，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2alnx−a3−2x，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)≤−3a．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2 5，且点F2到其渐近线的距离为1．
(1)求C的标准方程．
(2)若点P(x0,y0)是C上第一象限的动点，过点P(x0,y0)作直线l(l不与渐近线平行)，若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点T(与点P不重合)．
(i)证明：|PF1||PF2|=|TF1||TF2|．
(ii)若点N在直线l上，且F2N⊥F2P，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．
19.(本小题17分)
“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有x(x∈N∗)个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样.规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过n(n∈N∗)次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量Xn，且P(X1=1)=59．
(1)求x的值；
(2)随机变量X2的分布列和期望E(X2)；
(3)求P(Xn=1)．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.720
13.3
14.−4
15.解：(1)由题意，m=( 3sinx,2cs(x−π2))，n=(2csx,sinx)，
则f(x)=3−m⋅n=3−2 3sinxcsx−2cs(x−π2)sinx
=3− 3sin2x−2sin2x=3− 3sin2x−(1−cs2x)
=2−2sin(2x−π6)，
所以f(x)=2−2sin(2x−π6)，
由π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，
可得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
所以f(x)的增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；
(2)由f(A)=0，得sin(2A−π6)=1，
因为00,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，
焦距为2 5，且点F2到其渐近线的距离为1．
可知|F1F2|=2c=2 5，可得c= 5，
双曲线C的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，
点F2到其渐近线的距离为bc b2+a2=bcc=b=1，所以，a= c2−b2= 5−1=2，
因此，双曲线C的方程为x24−y2=1．
(2)(i)证明：因为P(x0,y0)是C上第一象限的动点，则x024−y02=1，可得y02=x024−1且x0>2，
易知点F1(− 5,0)、F2( 5,0)，
所以，|PF2|= (x0− 5)2+y02= x02−2 5x0+5+x024−1= 5x024−2 5x0+4
=| 52x0−2|= 52x0−2，
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a= 52x0−2+4= 52x0+2，
所以，|PF1||PF2|= 52x0+2 52x0−2= 5x0+4 5x0−4，
先证明出双曲线x24−y2=1在点P处的切线方程为x0x4−y0y=1，
联立x0x4−y0y=1x24−y2=1可得x2y024−(x0x4−1)2=y02，整理可得(x−x0)2=0，解得x=x0，
所以，双曲线x24−y2=1在点P处的切线方程为x0x4−y0y=1，
在直线l的方程x0x4−y0y=1中，令y=0，可得x=4x0，即点T(4x0,0)，且0