2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高三（下）质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼和浩特二中高三（下）质检数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|a−1≤x≤2a−1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. a≤1B. a0，a+b=1，则下列不等式正确的是( )
A. ab≤14B. a2+b2≥12C. 1a+1b+1>2D. a+ b≤1
10.设函数f(x)=x3−x2+ax−1，则( )
A. 当a=−1时，f(x)的极大值大于0
B. 当a≥13时，f(x)无极值点
C. ∃a∈R，使f(x)在R上是减函数
D. ∀a∈R，曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为定值
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，且f(x)−f(−x)=2x，g(x)+g(2−x)=0，则( )
A. g(0)=1B. y=f(x)x的图象关于点(0,1)对称
C. f(x)+f(2−x)=0D. k=1ng(k)=n−n22(n∈N∗)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b的模相等且夹角为60°，若向量a与向量λb−a垂直，则实数λ= ______．
13.若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex(a>0)存在公共切线，则a的取值范围是______．
14.已知函数f(x)=lnx+1−mx2x有两个零点a、b，且存在唯一的整数x0∈(a,b)，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinB(acsB+bcsA)=ccs(B−π6)．
(1)求角B的大小；
(2)若∠ABC的角平分线BD与边AC相交于点D，BD=6 35，b= 7，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB//CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足：an+2+(−1)nan=3，a1=1，a2=2．
(1)记bn=a2n−1，求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求S30．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点E(1,0)，斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q(1,3)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：△MEN为直角三角形；
(3)经过点T(0,2)且斜率不为零的直线l与双曲线C的两支分别交于点A，B.若点D是点B关于y轴的对称点，试问，不论直线l的斜率如何变化，直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx2−x+m(x−1)．
(1)判断曲线y=f(x)是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若f(x)在定义域内单调递增，求m的取值范围；
(3)若函数g(x)=f(2xx+1)+m⋅x2+1x+1有两个零点x1，x2，证明：x1x2>e2．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.C
8.D
9.ABC
10.BD
11.ABD
12.2
13.(0,4e2]
14.[ln2e4,1)
15.解：(1)由sinB(acsB+bcsA)=ccs(B−π6)及正弦定理，
可得sinB(sinAcsB+sinBcsA)=sinCcs(B−π6)，由A+B+C=π，
可得sinBsin(A+B)=sinBsinC=sinCcs(B−π6)，
又因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以sinB=cs(B−π6)=csB⋅ 32+sinB⋅12，
整理得tanB= 3，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)因为S△ABC=S△ABD+S△BCD，
所以有12acsinB=12c⋅BD⋅sinπ6+12a⋅BD⋅sinπ6，
由B=π3，BD=6 35，可得ac=65(a+c)，
由余弦定理，有csπ3=12=a2+c2−72ac=(a+c)2−2ac−72ac，
结合ac=65(a+c)，可得a+c=5(舍负)，
则△ABC的周长为5+ 7．
16.解：(1)证明：由题意AB=2CD=2AD=2BC=2，
则∠ABC=60°，
因为BC=1，AB=2，
所以∠ACB=90°，AC⊥BC，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
且PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，因为BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，且AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
(2)如图，以A为原点，AP，AB所在直线分别为x轴，y轴，在平面ABCD内过点A作平面ABC的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则P(1,0,0)，B(0,2,0)，D(0,12, 32)，C(0,32, 32)，
所以AP=(1,0,0)，BC=(0,−12, 32)，AD=(0,12, 32)，PB=(−1,2,0)，
设平面PAD的一个法向量n1=(x,y,z)，
则n1⋅AP=x=0n1⋅AD=y2+ 32z=0，令z=−1，得n1=(0, 3,−1)，
设平面PBC的法向量n2=(m,n,p)，
则n2⋅PB=−m+2n=0n2⋅BC=−n2+ 3p2=0，令p=1，得n2=(2 3, 3,1)，
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，
则csθ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22×4=14，
所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为 1−cs2θ= 154．
17.解：(1)因为an+2+(−1)nan=3，
所以当n=1时，有a3−a1=3；当n=3时，有a5−a3=3，……，
即a2n−1−a2n−3=3，
因为bn=a2n−1，所以bn−bn−1=3，
故数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以数列{bn}的通项公式为bn=b1+(n−1)d=3n−2．
(2)因为an+2+(−1)nan=3，
所以当n=4时，有a6+a4=3；当n=8时，有a10+a8=3，……，
所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)
=(b1+b2+…+b15)+[a2+(a4+a6)+…+(a28+a30)]
=(b1+b15)×152+a2+3×7
=(1+43)×152+2+21=353．
18.解：(1)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q(1,3)．
则x1+x2=2，y1+y2=6，
∵M，N两点在双曲线C上，
∴x12a2−y12b2=1①x22a2−y22b2=1②，由①−②得x12−x22a2−y12−y22b2=0，
即y12−y22x12−x22=b2a2，∴(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=b2a2，
∴kOQ⋅kMN=b2a2，即1⋅3=b2a2，∴b2=3a2，
又∵a=1，∴b2=3，
∴双曲线C的方程为：x2−y23=1．
(2)由已知可得，直线MN的方程为：y−3=1⋅(x−1)，即y=x+2，
联立y=x+23x2−y2−3=0⇒2x2−4x−7=0，Δ=16+56=72>0，
则x1+x2=2，x1x2=−72，
∵EM⋅EN=(x1−1,y1)⋅(x2−1,y2)=(x1−1)(x2−1)+y1y2
=(x1−1)(x2−1)+(x1+2)(x2+2)=2x1x2+(x1+x2)+5
=2×(−72)+2+5=0，
∴EM⊥EN，∴△MEN为直角三角形；

(3)经过点T(0,2)且斜率不为零的直线l与双曲线C的两支分别交于点A，B.设l方程为y=kx+2，k≠0，
联立直线l与C的方程，消去y得(3−k2)x2−4kx−7=0，
因为直线l与C的两支分别交于点A，B，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以3−k2>0Δ=4(21−3k2)>0，得00，
解得01．
故x1x2>e2．