2025年高考第三次模拟考试卷：数学（上海卷01）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（上海卷01）（解析版），共18页。试卷主要包含了设，若，则 等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可.
【解析】．
故答案为：.
2．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可.
【解析】由不等式，得，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
3．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可.
【解析】设抛物线为，
因为准线为，则，所以，
所以.
故答案为：.
4．函数的严格减区间为 .
【答案】
【分析】根据严格减区间定义即可得出答案.
【解析】因为的单调减区间为，
所以的严格减区间为.
故答案为：
5．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
【答案】
【分析】根据线性相关系数的定义直接得解.
【解析】由已知样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，
则，
又，
所以满足负相关，
即，
故答案为：.
6．若（为虚数单位）是关于的方程的根，则实数 ．
【答案】
【分析】方程有两个虚数根，则这两个虚数根互为共轭复数，由韦达定理得出参数的值.
【解析】∵（为虚数单位）是关于的方程的根
∴另一根为
∴
∴
故答案为：
7．设，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求解不等式.
【解析】当时，函数在上单调递减，
不等式，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
8．已知数列满足，且，，则 ．
【答案】
【分析】
根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解.
【解析】因为数列满足，
所以数列为等差数列，
所以，又因为，，
所以，解得，
故答案为：.
9．设，若，则 ．
【答案】
【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得.
【解析】令，则，
令，可得，
令，可得，
所以.
故答案为：
10．在平面直角坐标系，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积等于的直线恰有3条，则正实数的值为 .
【答案】
【分析】将圆的方程配成标准式，求出圆心及半径，由三角形面积公式得，则或，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值，从而得到，即可求解；
【解析】解：由，得：，则圆心，，
因为点在圆内，
所以解得
由已知得：，
解得：，则或
因为过的直线与圆相交于，两点，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值，
即
所以（负值舍去）.
故答案为：.
11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）

【答案】3.7
【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为.

设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
所以，所以四边形边长为，
所以四边形面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.
帐篷围成几何体的体积为：（立方米）.
故答案为：3.7.
12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下：
①，；
②，；
③,；
④,
其中，曲线和存在“分渐近线”的是 ．
【答案】②④
【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.
【解析】和存在分渐近线的充要条件是时，．
对于①，，当时，令
由于，所以为增函数，不符合时，，所以①不存在；
对于②，
，
因为当且时，，所以存在分渐近线；
对于③，，
当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，
所以当时会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④，，当时，
，且
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是②④．
故答案为②④．
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于中档题.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．“”是“事件A与事件互相独立”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【解析】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立；
若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立；
故选：C
14．已知和都是锐角，向量，，则（ ）
A．存在和，使得B．存在和，使得
C．存在和，使得D．存在和，使得
【答案】B
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.
【解析】因为和都是锐角，所以，
又，，
所以，，，
因为，所以，故，因此A和C错误；
当时，，即，所以B正确；，所以D错误；
故选：B.
15．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解.
【解析】根据已知条件， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，
设正四棱柱的高为，令，，，
所以，，
因为，所以，即，
整理得：，因为棱上至少存在一点使得，
所以关于得的方程，至少有一个解，
即，整理得：，解得，
又因为，所以，所以棱长的最大值为.
故选：A
16．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ）
A．①与②都是真命题；B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题；D．①与②都是假命题．
【答案】A
【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可.
【解析】对于①：因为数列、均为等差数列，
设，则，
若，可知当时，恒成立，不满足交错数列；
若，可知的符号不变，不满足交错数列；
若，可知当时，恒成立，不满足交错数列；
综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确；
对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为
不妨假设，，此时等比数列的公比为
当为奇数，则；
当为偶数，则；
满足是的交错数列，
若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立，
同理若，，此时等比数列的公比为
当为奇数，则；
当为偶数，则；
满足是的交错数列，
若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立，
综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．

(1)求证：平面PBC；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【解析】（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设二面角的大小为，则，，
所以二面角的正弦值为.
18．已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围．
【解析】（1）∵函数的定义域为，
又∵
∴①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
∵
∴，
又∵，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上可得
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
(1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为，方差为
【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.
（2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.
（3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
【解析】（1）根据数据补全列联表如下：
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
因为，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题.
（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，
所以；；
；；
所以X的分布列为：
则；.
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；
（2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.
【解析】
（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
，从而的周长为．
由题意，得，即的周长为.
（2）由题意可设过的直线方程为，
联立，消去x得，
则，
所以，
令，
则（当时等号成立，即时）
所以,
故面积的取值范围为.
（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，
整理可得，
则，得，，
故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为.
21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点.
(1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
(2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对；
(3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：.
【答案】(1)函数是区间上的“平均值函数”，
不是区间上的“平均值函数”，理由见解析
(2)或或或.
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；
（2）由平均值函数的定义可得，可求所有满足条件的整数数对；
（3）所证不等式可变形为，利用换元法，令，可证结论.
【解析】（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”，
不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；
，即，
所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”；
（2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，
所以，
即，显然不成立，
所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，
又所求的为整数对，故或或或.
（3）由题意可得，则所证不等式为，
需证，令，则不等式为，
则不等式等价于，
令，求导得，
所以在上单调递减，所以，
即，即.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
不达标
达标
合计
男
50
250
300
女
100
200
300
合计
150
450
600
X
0
1
2
3
P