湖北省武汉市江岸区七一华源中学2024-2025学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份湖北省武汉市江岸区七一华源中学2024-2025学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若二次根式 a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a>2B. a≤2C. a≠2D. a≥2
2.下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 12B. 3C. 4D. 12
3.若△ABC的三边分别为a、b、c，下列给出的条件能构成直角三角形的是( )
A. a=2，b=3，c=4B. a=3，b=4，c=5
C. a=3，b=5，c=7D. a=4，b=5，c=6
4.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 6÷ 2= 3C. (−2)2=−2D. 3 3− 3=3
5. 12−n是一个正整数，则n的最小正整数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC=1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是( )
A. 5B. − 5C. 2− 5D. 5−2
7.张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为( )
A. 30mB. 40mC. 50mD. 70m
8.化简1x −x3=( )
A. −xB. xC. − xD. − −x
9.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P.如图所示，若S△CFP−S△AEP=3.5，AE+EB=7，则正方形ABCD的面积为( )
A. 28B. 25C. 30D. 24
10.代数式 (x+2)2+16+ x2−8x+25的最小值是( )
A. 3 10B. 4 5C. 85D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 13= ______，( 5)2= ______， (−2)2= ______．
12.长方形的长为2 3，宽为 5，则长方形的面积为______．
13.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=10，BC=5时，则阴影部分的面积为______．
15.已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，h为斜边上的高，有下列说法：① a， b， c能组成三角形：②a2，b2，c2能组成三角形；③1a，1b，1h能组成直角三角形；④c+h，a+b，h能组成直角三角形.其中正确结论的序号是______．
16.如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC和AC上，且BD=CE=14AB，AB= 26，则CM= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 18− 32+ 2；
(2)(3 15−2 6)÷ 3．
18.(本小题8分)
先化简，再求值．(a+ 3)(a− 3)−a(a−4)，其中a= 52．
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24．
(1)求证：CD⊥AD；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题8分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.7m，将秋千AD往前推送4m(即BC为4m)，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度．
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7m时，需要将秋千AD往前推送______m.
21.(本小题8分)
作图题：
(1)在图1中，过A点画线段AC使AC=5，并且AC在AB上方；
(2)在(1)的基础上，画出∠BAC的角平分线；
(3)在图1中，M在AB上，在边AC上找一点N，使AN=AM；
(4)在图2中，P、Q分别是GF、DF上的动点，GP=FQ，画使得DP+GQ最小时点P的位置．
22.(本小题10分)
已知当a>0，b>0时，a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取等号．
(1)当x>0时，则x+1x的最小值为______；
(2)当x>0时，求y=x2+3x+16x的最小值；
(3)如图，已知A(−3,0)、B(0,−4)，C在x轴正半轴上，D在y轴正半轴上，△COD的面积始终为1.5，求四边形ABCD面积的最小值．
23.(本小题10分)
在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
(1)如图1，点M为CB上一点，AN⊥AM，CN⊥BC，求证：△ABM≌△ACN；
(2)如图2，∠HAK=45°，BH//CK，探究BH、CK和HK之间数量关系，并证明；
(3)如图3，点D、E分别在边AB和AC上，连接DC和BE交于点F，∠BFC=135°，BD=3，CE=4，则CD= ______．
24.(本小题12分)
如图，平面坐标中，A(a,0)、B(b,0)(a、b均大于0)，C点在第二象限．
(1)若a、b满足b= a−2+ 2−a+2，求线段AB的长度；
(2)如图1，在(1)的条件下，若∠BCO=45°，求证：2CO2+CB2=CA2；
(3)如图2，若∠BCO=135°，∠CAO=2∠CBO，AB=6，CA=3，求△OBA的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意，得
a−2≥0，
解得，a≥2．
故选：D．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：A． 12= 22，所以A选项不符合题意；
B. 3为最简二次根式，所以B选项符合题意；
C. 4=2，所以C选项不符合题意；
D. 12=2 3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式满足的条件(被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、42+32=52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理．解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的使用方法．
4.【答案】B
【解析】解：A、两者不是同类二次根式，不能相加，故错误，不符合题意；
B、 6÷ 2= 3，故正确，符合题意；
C、 (−2)2=2，故错误，不符合题意；
D、3 3− 3=2 3，故错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则及性质即可解答．
本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误．
5.【答案】C
【解析】解：由 12−n是一个正整数，得
12−n=9，
n=3，
故选：C．
根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
本题考查了二次根式的定义，利用开方运算是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC=1，以点O为圆心，OB长为半径画弧，
得OA=OB= 12+22= 5，
则点A表示的数是 5．
故选：A．
应用勾股定理计算OB，即可得OA的长度，即可得答案．
本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确计算．
7.【答案】C
【解析】解： 302+402=50m，
故选：C．
根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离．
本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用，题目比较简单．
8.【答案】D
【解析】解：由题可知，
x( c)2；
∴ a+ b> c，
∴ a， b， c组成三角形(这里明显 c是最长边)；
∴ a， b， c能组成三角形，
∴①正确；
∵a，b，c是Rt△ABC的三边，且a2+b2=c2，h是斜边上的高，
②∵a2+b2=c2，不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴a2、b2、c2不能组成三角形，
∴②错误；
③∵1a+1b=b+aab=cch=1h不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴1a，1b，1h不能组成直角三角形，
∴③错误．
④∵(c+h)2−h2=c2+2ch，ch=ab(直角三角形面积=两直角边乘积的一半=斜边和斜边上的高乘积的一半)，
∴2ch=2ab，
∴c2+2ch=c2+2ab，
∵a2+b2=c2，
∴c2+2ch=a2+b2+2ab，
∴(c+h)2−h2=(a+b)2，
∴h2+(a+b)2=(c+h)2，
∴c+h、a+b、h能组成直角三角形；
∴④正确；
∴正确的序号是①④．
故答案为：①④．
根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
16.【答案】 14
【解析】解：∵在等边△ABC中，
∴AB=BC=AC= 26，∠ABD=∠BCE=∠BAC=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABM+∠CBE=60°，
∴∠ABM+∠BAD=60°，
在△ABM中，∠AME=∠ABM+∠BAD=60°，∠AMB=120°，
如图，延长ME到点P，使MP=MA，连接AP、CP，
则△AMP是等边三角形，
∴∠MAP=∠APM=60°，AM=AP，
∴∠BAD=∠CAP=60°−∠CAD，
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACP(SAS)，
∴∠APC=∠AMB=120°，
∴∠CPM=∠APM=60°，
∴PE平分∠APC，
如图，过E作EK⊥AP于点K，EL⊥CP于点L，则EK=EL，
∴S△APES△CPE=12AP⋅EK12CP⋅EL=12AE⋅h12CE⋅h，
∴APCP=AECE，
∵CE=14AB=14AC，
∴APCP=AECE=3，
如图，过C作CH⊥AP于点H，
则∠CPH=60°，
∴∠PCH=30°，
设PH=x，则CP=2x，CH= 3x，
∴AP=3CP=6x，
∴AH=AP+PH=7x，
在Rt△ACH中，AH2+CH2=AC2，
∴(7x)2+( 3x)2=( 26)2，
解得x= 22(负值舍去)，
∴CP=2x= 2，CH= 3x= 62，
∴PM=AP=6x=3 2，
过C作CG⊥PM于点G，则PG=PH= 22，CG=CH= 62，
∴MG=PM−PG=5 22，
在Rt△MCG中，CM= MG2+CG2= 14，
故答案为： 14．
先证△ABD≌△BCE(SAS)，可得∠AME=∠ABM+∠BAD=60°，∠AMB=120°，再利用60°构造等边三角形，延长ME到点P，使MP=MA，连接AP、CP，易证△ABM≌△ACP(SAS)，所以可得PE平分∠APC，再根据角平分线的性质定理可得APCP=AECE=3，然后利用特殊角构造直角三角形，分别求出AP=PM=3 2，CP= 2，进而即可得解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 2−4 2+ 2
=0；
(2)原式=3 5−2 2．
【解析】(1)根据二次根式的运算法则原式即可；
(2)根据二次根式的运算法则原式即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
18.【答案】4a−3；2 5−3．
【解析】解：(a+ 3)(a− 3)−a(a−4)
=a2−3−a2+4a
=4a−3，
当a= 52时，原式=4× 52−3=2 5−3．
根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项即可将题目中的式子化简，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确平方差公式的计算方法．
19.【答案】(1)证明：连接AC，
∵∠B=90°，AB=20，BC=15，
∴AC2=AB2+BC2=202+152=625，
∵CD=7，AD=24，
∴CD2=72=49，AD2=242=576，
∵49+576=625，即CD2+AD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∴CD⊥AD；
(2)解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=12AB⋅BC+12AD⋅CD
=12×20×15+12×24×7
=150+84
=234．
【解析】(1)连接AC，利用勾股定理求出AC2的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
(2)利用S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC进行计算即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
20.【答案】秋千的长度为5米；
3．
【解析】解：(1)由题意知，DE=0.7米，BF=2.7米，CE=BF=2.7米，
∴CD=CE−DE=2.7−0.7=2(米)，
设AB=x米，则AC=(x−2)米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC2+BC2=AB2，
即(x−2)2+42=x2，
解得x=5，
即秋千的长度为5米；
(2)∵踏板离地的垂直高度BF为2.7米，
∴CD=1.7−0.7=1(米)
∴AC=5−1=4(米)，
∴BC= AB2−AC2=3(米)，
即需要将秋千AD往前推送3米，
故答案为：3．
(1)设AB=x米，则AC=(x−2)米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；
(2)由题意得出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
21.【答案】见解析．
【解析】解：(1)如图1，AC即为所求；
(2)如图1，AE即为所求；
(3)如图1，点M即为所求；
(4)如图2，点P即为所求．
(1)根据勾股定理求解；
(2)根据等腰三角形的性质作出BC的中点E，连接AE即可；
(3)连接CM，根据等腰三角形的性质即可作出点M；
(4)由正方形的性质作出格点K，连接DK与FG的交点即为点P．
本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】2；
11；
272．
【解析】解：(1)由题可知x+1x≥2 x⋅1x=2，
即x+1x的最小值为2，
故答案为：2；
(2)y=x2+3x+16x=x+16x+3，
∵x+16x≥2 x⋅16x=8，
∴y≥11，
∴y的最小值为11；
设OC=x，
∵S△OCD=12OC⋅OD=32，
∴OD=3x，
∴AC=3+x，BD=4+3x，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD
=12(3+x)(4+3x)
=12(12+9x+4x+3)
=12(4x+9x+15)，
∵4x+9x≥2 4x⋅9x=12，
∴S四边形ABCD =12(4x+9x+15)≥272，
即四边形ABCD面积的最小值为272．
(1)根据题意直接列式求解即可；
(2)化简可得y=x2+3x+16x=x+16x+3，进而参考题干例子的方法求解即可；
(3)设OC=x，易得OD=3x，进而根据S四边形ABCD=12AC⋅BD可得S四边形ABCD=12(4x+9x+15)，再利用题干方法求解即可．
本题主要考查了基本不等式、坐标与图形面积、分式运算、对角线互相垂直的四边形面积等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】证明见解析；
BH2+CK2=HK2.证明见解析；
3 5．
【解析】(1)证明：∵AM⊥AN，
∴∠MAN=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵CN⊥BC，
∴∠BCN=90°，
∴∠ACN=45°，
∴∠B=∠ACN，
在△ABM和△ACN中，
∠B=∠ACNAB=AC∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ACN(ASA)；
(2)解：BH2+CK2=HK2．
证明：过点A作AG⊥AH，AG=AH，则∠HAK=∠KAG=45°，
∵AK=AK，
∴△AKH≌△AKG(SAS)，
∴KH=GK，
由(1)知∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，AH=AG，
∴△ABH≌△ACG(SAS)，
∴BH=CG，∠ABH=∠ACG，
∵BH//CK，
∴∠CBH=∠BCK，
∴∠ACG=∠ABH=45°+∠BCK，
∵∠ACK=∠AC−∠BCK=45°−∠BCK，
∴∠ACG+∠ACK=90°，
即∠KCG=90°，
∴KC2+CG2=KG2，
∴KC2+BH2=HK2；
(3)解：过点B作BG//DC，且BG=DC，连接CG，EG，过点B作BM⊥CG，交其延长线于点M，延长CM至点N，使MN=AE，连接BN，
∵GB//DC，BG=CD，
∴四边形DBGC是平行四边形，
∴BD=CG=3，AB/​/CM，
∴四边形ABMC为矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABMC为正方形，
∴AB=BM，∠A=∠ABM=∠BMC=90°，
∵∠BFC=135°，
∴∠EBG=45°，
∴∠ABE+∠MBG=45°，
∵AB=BM，∠A=∠BMN，AE=MN，
∴△ABE≌△MBN(SAS)，
∴∠ABE=∠MBN，
∴∠NBG=∠EBG=45°，
∵BG=BG，
∴△EBG≌△NBG(SAS)，
∴EG=NG=AE+MG，
∴EG= CE2+CG2=5，
设MG=x，则AE=5−x，CM=x+3，
∴AC=AE+CE=9−x，
∴9−x=x+3，
∴x=3，
∴BM=6，
∴BG= BM2+MG2=3 5，
∴CD=3 5．
故答案为：3 5．
(1)根据ASA可证明△ABM≌△ACN；
(2)过点A作AG⊥AH，AG=AH，则∠HAK=∠KAG=45°，证明△AKH≌△AKG(SAS)，得出KH=GK，由(1)知∠BAH=∠CAG，证明△ABH≌△ACG(SAS)，得出BH=CG，∠ABH=∠ACG，证出∠KCG=90°，则可得出结论；
(3)过点B作BG//DC，且BG=DC，连接CG，EG，过点B作BM⊥CG，交其延长线于点M，延长CM至点N，使MN=AE，连接BN，证明△ABE≌△MBN(SAS)，得出∠ABE=∠MBN，证明△EBG≌△NBG(SAS)，得出EG=NG=AE+MG，求出MG和BG，可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】2 2；
证明过程见解答；
274．
【解析】(1)解：∵b= a−2+ 2−a+2，
∴a−2≥0，2−a≥0，
∴a=2，b=2，
∴A(2,0)、B(0,2)，
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB= 2OA=2 2；
(2)证明：如图1，过点O作OD⊥OC交CB的延长线于点D，连接AD，
∴∠COD=90°，
∵∠BCO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD=90°−∠BOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+45°=90°，
∴CD2+AD2=CA2，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD2=2CO2，
∴2CO2+CB2=CA2；
(3)解：如图2，过点O作OH⊥OC交CB的延长线于点H，过点C作CG⊥BC交x轴于点G，
∴∠COH=∠BCG=∠HCG=90°，
∵∠BCO=135°，
∴∠OCG=∠BCO−∠BCG=135°−90°=45°，
∴∠OCH=∠HCG−∠OCG=90°−45°=45°，
∴∠OHC=45°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴OC=OH，
设∠CBO=α，
∴∠CAO=2∠CBO=2α，
∵∠BCG=∠BOA=90°，∠BEC=∠GEO，
∴∠CBE=∠OGE=α，
∴∠ACG=∠CAO−∠AGC=α，
∴∠ACG=∠AGC=α，
∴AC=AG，
∵∠OHB=∠OCG=45°，∠OBH=∠OGC=α，OH=OC，
∴△OBH≌△OGC(AAS)，
∴OB=OG，
设OA=a，OB=b，
∵AB=6，
∴a2+b2=36，
∵AG=CA=3=OG−OA=OB−OA，
∴b−a=3，
∴(b−a)2=9，
∴a2+b2−2ab=9，
∴2ab=a2+b2−9=36−9=27，
∴△OBA的面积=12×OA⋅OB=12ab=274．
(1)求出a=2，b=2，然后根据勾股定理求出AB；
(2)过点O作OD⊥OC交CB的延长线于点D，连接AD，证明△COD是等腰直角三角形，然后证明△AOD≌△BOC(SAS)，得AD=BC，∠ADO=∠BCO=45°，所以∠ADC=90°，然后利用勾股定理即可解决问题；
(3)如图2，过点O作OH⊥OC交CB的延长线于点H，过点C作CG⊥BC交x轴于点G，证明△COH是等腰直角三角形，得OC=OH，设∠CBO=α，得∠CAO=2∠CBO=2α，证明∠ACG=∠AGC=α，得AC=AG，然后证明△OBH≌△OGC(AAS)，得OB=OG，设OA=a，OB=b，根据完全平方公式得2ab=27，进而可以求△OBA的面积．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．