北京市平谷区2025届高三下学期3月一模试题 数学 含解析

这是一份北京市平谷区2025届高三下学期3月一模试题 数学 含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，共4页， 在的展开式中，的系数为．， 在等比数列中，，记，则数列， 已知函数，任取，定义集合等内容，欢迎下载使用。
2025.3
注意事项
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟.
2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.
第I卷选择题（共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5C. D. 10
5. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在等比数列中，，记，则数列（ ）
A. 无最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
7. 已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度）
A. B.
C. D.
9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
第II卷非选择题（共110分）
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）
11. 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则__________.
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”
13. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为_________.
14. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________.
15. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论：
①；
②若为递增数列，则的取值范围是；
③存在实数，使得为等比数列；
④，使得当时，总有.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 在中，.
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面等腰直角三角形，.
（1）点在棱上，若平面，求证：为的中点；
（2）求与平面所成的角.
18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：
（1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
（2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；
（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的值.
20. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
21. 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.
（1）若数列.求数列；
（2）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
（3）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.
参考答案
第I卷选择题（共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，）
1. 【答案】D
【分析】根据并集的定义即可求.
【详解】，
故选：D
2. 【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选：B
3. 【答案】C
【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解.
【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误，
对于B, 在区间上单调递减，B错误，
对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确，
对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误，
故选：C
4. 【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5. 【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；
综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6. 【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由，
则，解得，，
则，
则
，
设，则，
所以，
则时，，即，
当时，，即，
则，则为最大项，
此时为正数项，且在正数项中最大；
再比较和，其中一个为第二大的项，
由于，，因此为最小项.
故选：C.
7. 【答案】A
【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可.
【详解】由，，
则，
因为在区间上没有最值，
所以，
则，解得，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 【答案】D
【分析】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解；
【详解】设圆锥底面面积为，
由题意可知，
所以，
设圆锥得高为，则，
所以圆锥的体积为：，
所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为，
故选：D
9. 【答案】A
【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可；
【详解】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
所以：，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选：A
10. 【答案】B
【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解.
【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ，
点,
当点在点时，点在曲线上， ，
当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大；
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小，
当点在点时，,
综上可得的最小值是1
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值.
第II卷非选择题（共110分）
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）
11. 【答案】
【分析】由抛物线的定义可知，过作轴的垂线垂足是焦点，即可得到答案.
【详解】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴，
抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，
由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等，
所以，若轴，则垂足为点，即，
故答案为：
12. 【答案】11
【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解.
【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，
由题得，所以
所以.
故答案为：11
13. 【答案】2（注：区间内任何一个值）
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率，
若满足直线与C无公共点，则需，
故答案为：2
14. 【答案】 ①. ②.
【分析】结合二次函数与一次函数的单调性，可得分段函数的单调性，结合值域的概念以及极值点的概念，建立不等式，可得答案.
【详解】由，则，
当时，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
此时；
当时，，易知函数在上单调递减，则.
综上可得.
由题意可设函数的两个极值点分别为，且，
由二次函数在上单调递增，在上单调递减，
一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
易知函数在与上单调递增，在上单调递减，
且，，可得，解得.
故答案为：；.
15. 【答案】①②④
【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解.
【详解】由得，相减可得，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于①，，故正确；
对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，
若，则需要，则，故正确，
对于③，，若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误，
对于④，若，只要足够大，一定会有 ，
则，只要足够的大， 趋近于0，
而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．
三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解，
（2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解.
【小问1详解】
方法一：由正弦定理及，得
.①
因为，
所以.②
由①②得
因为，所以.
所以.因为，所以.
方法二：在中，因为，
由余弦定理得，
整理得
所以，所以.
【小问2详解】
若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①.
选条件②：
方法一：由余弦定理，得
即，解得.
所以
方法二：由正弦定理，所以，因为
，所以，
所以.
选条件③：
边上的高，所以，
以下与选择条件②相同.
17. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据线面平行的性质，结合平行四边形的定义，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
在中，过点作交于点，连接，
因为，所以，所以四点共面.
因为平面，平面，
平面平面，所以.
所以四边形是平行四边形，
所以，所以为的中点.
【小问2详解】
过作于，连接.
因为，所以为中点，
，，所以四边形为平行四边形，
又，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.所以，
所以.
如图建立空间直角坐标系.
因为，
由题意得，，
所以.
设平面的法向量为，则即
令，则.所以平面的一个法向量为.
设与平面所成角为，
则，
又，解得.
所以与平面所成的角为
18. 【答案】（1）0.94
（2）
（3）超过，理由见解析
【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；
（2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可；
（3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断；
【小问1详解】
由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人，
所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为.
【小问2详解】
设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，
事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误；
根据题中数据，可估计为可估计为
该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
所以，
所以.
因此恰有一人检测结果错误的概率为
【小问3详解】
此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900.
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为.
19. 【答案】（1）
（2）1
【分析】（1）由短轴长的概念以及离心率的计算，解得的关系式，建立方程组，可得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，写出韦达定理，由直线方程求得交点坐标，可得答案.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，点.
由得
所以题意，即.
.
直线与轴交于点，所以.点
直线的方程为，
令，得，①
又因为，
带入①式
所以.
20. 【答案】（1）
（2）的单调减区间为，无增区间.
（3）能，
【分析】（1）利用导数求得，利用点斜式方程可求切线方程；
（2）求导得，令，求导得，可得结论；
（3）由题意判断方程的解的情况，令求导可得结论.
【小问1详解】
当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为.
【小问2详解】
当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，
所以的单调减区间为，无增区间.
【小问3详解】
由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点，
即方程有唯一实根0，所以.
所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时.
21. 【答案】（1）
（2）至少有19对，理由见解析
（3）答案见解析
【分析】（1）根据变换的定义，逆向推导即可；
（2）根据中每个1和0在中的对应情况，即可求解和证明；
（3）对参数分类讨论，结合变换的定义以及等比数列求和，即可求得结果.
【小问1详解】
由变换的定义可得.
【小问2详解】
数列中连续两项相等的数对至多有19对.
证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，
在中每一个0在中对应的连续四项为，
因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
在中若出现连续两项的数对最多，
对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对，
所以中至多有19对连续相等的数对.
比如：取，则
【小问3详解】
设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中00得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个.
所以，得，
由可得，
所以，
当时，
若为偶数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
若为奇数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
所以．
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
抽样人群
阳性人数
阴性人数
患者
36
4
非患者
2
58