北京市平谷区2025届高三下学期3月质量监控（一模）考试数学试卷（解析版）

这是一份北京市平谷区2025届高三下学期3月质量监控（一模）考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知集合，则， 在的展开式中，的系数为．， 在等比数列中，，记，则数列， 已知函数，任取，定义集合等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D
2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选：B
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误，
对于B, 在区间上单调递减，B错误，
对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确，
对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误，
故选：C
4. 在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5C. D. 10
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
5. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6. 在等比数列中，，记，则数列（ ）
A. 无最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
由，
则，解得，，
则，
则，
设，则，
所以，
则时，，即，
当时，，即，
则，则为最大项，
此时为正数项，且在正数项中最大；
再比较和，其中一个为第二大的项，
由于，，因此为最小项.
故选：C.
7. 已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，，
则，
因为在区间上没有最值，
所以，
则，解得，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥底面面积为，
由题意可知，
所以，
设圆锥得高为，则，
所以圆锥的体积为：，
所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为，
故选：D
9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：，即，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
设消除的污染物对应事件为，即，
两式相除可得：，
即，
所以：，
即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历，
故选：A
10. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ，
点,
当点在A点时，点在曲线上， ，
当点在曲线上从A接近时，减小，所以逐渐增大；
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小，
当点在点时，
当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大，
当点点时，
当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小，
当点在点时，,
综上可得的最小值是1
故选：B
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）
11. 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则__________.
【答案】
【解析】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴，
抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，
由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等，
所以，若轴，则垂足为点，即，
故答案为：
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”
【答案】11
【解析】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，
由题得，所以
所以.
故答案为：11
13. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为_________.
【答案】2（注：区间内任何一个值）
【解析】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率，
若满足直线与C无公共点，则需，
故答案为：2
14. 已知函数，当时，的值域是__________，若有两个极值点，则的取值范围是__________.
【答案】①. ②.
【解析】由，则，
当时，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
此时；
当时，，易知函数在上单调递减，则.
综上可得.
由题意可设函数的两个极值点分别为，且，
由二次函数在上单调递增，在上单调递减，
一次函数，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
易知函数在与上单调递增，在上单调递减，
且，，可得，解得.
故答案为：；.
15. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论：
①；
②若为递增数列，则的取值范围是；
③存在实数，使得为等比数列；
④，使得当时，总有.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【解析】由得，相减可得，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于①，，故正确；
对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，
若，则需要，则，故正确，
对于③，，若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误，
对于④，若，只要足够大，一定会有 ，
则，只要足够的大，趋近于0，
而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，
故答案为：①②④
三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 在中，.
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）方法一：由正弦定理及，得
.①
因为，
所以.②
由①②得
因为，所以.
所以.因为，所以.
方法二：在中，因为，
由余弦定理得，
整理得
所以，所以.
（2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①.
选条件②：
方法一：由余弦定理，得
即，解得.
所以
方法二：由正弦定理，所以，因为
，所以，
所以.
选条件③：
边上的高，所以，
以下与选择条件②相同.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面等腰直角三角形，.
（1）点在棱上，若平面，求证：为的中点；
（2）求与平面所成的角.
（1）证明：在中，过点作交于点，连接，
因为，所以，所以四点共面.
因为平面，平面，
平面平面，所以.
所以四边形是平行四边形，
所以，所以为的中点.
（2）过作于，连接
因为，所以为中点，
，，所以四边形为平行四边形，
又，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面.所以，
所以.
如图建立空间直角坐标系.
因为，
由题意得，，
所以.
设平面的法向量为，则即
令，则.所以平面的一个法向量为.
设与平面所成角为，
则，
又，解得.
所以与平面所成的角为
18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：
（1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
（2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；
（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
解：（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人，
所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为.
（2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，
事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误；
根据题中数据，可估计为可估计为
该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
所以，
所以.
因此恰有一人检测结果错误的概率为
（3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900.
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为.
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的值.
解：（1）由题意可知：，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，点.
由得
所以题意，即.
.
直线与轴交于点，所以.点
直线的方程为，
令，得，①
又因为，
带入①式
所以.
20. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
解：（1）当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为.
（2）当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，所以在减函数.
（3）由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点，
即方程有唯一实根0，所以.
所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时.
21. 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新“数列”.设是“数列”，令.
（1）若数列.求数列；
（2）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
（3）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.
解：（1）由变换的定义可得.
（2）数列中连续两项相等的数对至多有19对.
证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，
在中每一个0在中对应的连续四项为，
因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
在中若出现连续两项的数对最多，
对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对，
所以中至多有19对连续相等的数对.
比如：取，则
（3）设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中01数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中00得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个.
所以，得，
由可得，
所以，
当时，
若为偶数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
若为奇数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
所以．抽样人群
阳性人数
阴性人数
患者
36
4
非患者
2
58