辽宁省葫芦岛市2025届九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省葫芦岛市2025届九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
（本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效．
参考公式：抛物线（）顶点坐标为
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列汽车标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为B．抛物线可由经过平移得到
C．抛物线与轴有两个交点D．当时，随的增大而增大
4．有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A．24°B．34°C．56°D．68°
6．关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
7．如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（ ）
A．B．C．D．
8．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ）
A．这个反比例函数解析式为
B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小
C．若压强由减压到，则气体体积增加了
D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于
9．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ）
A．B．C．D．6
10．如图，二次函数（）的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程的一个根是2，则______．
12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______．
13．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______．
14．如图，，分别与相切于，两点，点为上异于，的一点，连接，，若，则的度数为______．
15．如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（本题10分）解方程：
（1）；
（2）．
17．（本题8分）
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为．
（1）画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转90°，得到，
①画出，并写出点的坐标：
②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____．
18．（本题8分）
美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指
向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．
（1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果；
（2）游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由．
19．（本题8分）
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标．
20．（本题8分）
近年来，用“短视频+直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万．
（1）求短视频分享人数的年平均增长率；
（2）某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费）
21．（本题8分）
如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，连接并延长，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22．（本题12分）
数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
（1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由：
【深入探究】
（2）问题2：结合问题1解决下面的问题．
如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：；
【尝试应用】
（3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长．
图1 图2
图3 图4
23．（本题13分）
我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”．
（1）在点，，中，与点互为“等差点”的是______；
（2）已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值；
（3）如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点．
①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围．
图1 备用图
葫芦岛市义务教育阶段2024-2025学年度
第一学期期末学业水平考试
九年级数学参考答案及评分标准
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．D 10．C
11．2 12． 14．114° 15．或
16．解：（1），
，或
，；
（2），，
即，．
17．解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）．
18．（1）列表如下：
（2）根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种，
分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3），
，则
，即不能配成紫色的可能性大一些
此游戏对双方不公平．
19．（1）反比例函数（）经过点，
将点代入中得，
反比例函数解析式为（）
的图象经过点，，点坐标为
红1
蓝1
红2
黄1
红3
（红1，红3）
（蓝1，红3）
（红2，红3）
（黄1，红3）
蓝2
（红1，蓝2）
（蓝1，蓝2）
（红2，蓝2）
（黄1，蓝2）
黄2
（红1，黄2）
（蓝1，黄2）
（红2，黄2）
（黄1，黄2）
将，两点代入中得
解得，一次函数解析式为
（2）对于函数，令，得，
解得，
，，轴，轴
点坐标为
，，
点是反比例函数（）上一点，
可设点坐标为，，
解得，点坐标为．
20．（1）设短视频分享人数的年平均增长率为，
根据题意可得方程，
解得，，（不合题意，舍去）．
答：短视频分享人数的年平均增长率为10%．
（2）根据题意可得
，抛物线开口向下，有最高点，有最大值，
即当时，．
答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元．-8分
21．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
是的半径，是的切线；
（2）解：，
设，
由（1）可知
即，解得：
，
设半径为，则，
在中，，
，即
解得：
的长为．
22．（本题12分）
（1）证明：和为等腰直角三角形，
，
，
图2
（2）解：由（1）过程得
交于点，
在和中，为中点
，，
图3
（3）证明：过点作于，取中点，连接，
图4
在中，
，
为中点
，
在中，
，
，
为的垂直平分线
，
为等腰直角三角形，
，
由（2）得：
，
为等边三角形，（方法不唯一）
23．（1）
（2）依题意可得，即
点在双曲线上存在唯一等差点
-，解得
（3）
顶点为
顶点与点是等差点
，即
解得，抛物线的解析式是
①令，得，解得，，
，将代入得
设直线的解析式是（）将点，
坐标代入得解得
直线的解析式是．
点的横坐标是，且轴
，，
，
当点是中点时，
即，解得，
-
当点是中点时，
即，解得，（舍）
综上所述的长是3或；
②或