辽宁省鞍山市海城市东部集团2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省鞍山市海城市东部集团2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了答题前，考生须用0，2，或x＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分120分，答题时间120分钟)
注意事项:
1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷；
选择题（每题3分，共30分）
1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．下列关系式中，y是x的反比例函数的为（ ）
A．yB．yC．y＝x2D．y
4．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为菱形B．对角线AC的长度不变
C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变
5．关于抛物线y＝（x﹣2）2+4图象的性质，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标是（2，4）D．与x轴有两个交点
6．下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540°
7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（4，8）
C．（8，2）或 （﹣8，﹣2）D．（4，8）或 （﹣4，﹣8）
8．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．2πD．4π
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论：
①abc＜0； ②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0； ④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0；
⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
填空题（每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣4＝0的根是 ．
12．辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、50米跑、1分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是 ．
13．抛物线y＝2x2+（m﹣1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，则点B'的坐标为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OC∥AD，OA∥CD，若AD＝1，则BC的长为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分) 解方程：
（1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2；
（2）．
17．（8分) 如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接BD，点E在线段BD上，过点E作EF⊥AB于点F，且DE＝BF，求DE的长．
18．（8分)在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求点A旋转到点A1的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
19．（8分)如图，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与双曲线交于A，B两点，半径为2的⊙A与x轴交于点C，与y轴的正半轴相切，连接AC，∠ACO＝60°．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
20．（8分)为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022﹣2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
21．（10分)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
22．（10分)某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表：
【探究发现】
通过表格可发现x与t满足一次函数关系，即x＝5t．而y与t之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述．
【解决问题】
（1）直接写出y关于t的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下面的问题：
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM＝125m．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
23．（13分)【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝45°，BD平分∠ABC，求证：AB+AD＝BC．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE＝AB，连接DE，将线段AB，AD，BC的数量关系转化为DE与CE的数量关系；
②如图3，乐琪同学从BD平分∠ABC这个条件出发，想到将△BDC沿BD翻折，所以她延长线段BA到点F，使FB＝CB，连接FD，发现了∠F与∠ADF的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，若∠ABD＝30°，AB＝1，请直接写出线段AC的长度．
东部集团九年级数学参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. x1＝2，x2＝﹣2．． 12.． 13. 1 14. （﹣4，8）．15. 1
三、解答题（共8小题，共75分）
16解：（1）[（x﹣4）﹣（5﹣2x）][（x﹣4）+（5﹣2x）]＝0，
（3x﹣9）（1﹣x）＝0，
3x﹣9＝0或1﹣x＝0，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）∵2x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，
∴x1＝x2．
17解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵AB＝6，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°，
∵EF⊥AB，
∴BE＝2BF，
∵DE＝BF，
∴BD＝DE+BE＝DE+2BF＝3DE＝6，
∴DE＝2．
18解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
B
D
A
C
A
（2）由勾股定理得，OA，
∴点A旋转到点A1的过程中所经过的路径长为．
19.解：（1）如图，过点A作AH⊥x轴于H，设⊙A与y轴的正半轴相切于点D，连接AD，
∴∠AHC＝90°，
∵⊙A切y轴于D，
∴AD⊥y轴，AD＝2，
∵∠ACO＝60°，AC＝2，
∴∠CAH＝30°，
在Rt△ACH中，CHAC＝1，
∴AHCH，
∴A（2，），
∵双曲线y经过圆心A，
∴k＝22，
∴双曲线的解析式为y；
（2）∵A（2，），正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与双曲线y交于A，B两点，
∴2k1，解得k1，
∴正比例函数的解析式为yx，
联立得x，解得x＝±2，
∴B（﹣2，），
由图象得不等式k1x的解集为﹣2＜x＜0或x＞2．
20解：（1）设2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x，
则：2000（1+x）2＝2880，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为20%；
（2）2880×（1+20%）＝3456（元），
答：2025需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍．
21.（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴，
∴PB，
∴DP6．
故答案为：．
22解：（1）根据探究发现：y与t是二次函数关系，
设y与t的函数解析式为y＝at2+bt，
由题意得：，
解得，
∴y与t的函数解析式为yt2+12t；
（2）①依题意得，令y＝0，则，
解得 t1＝0，t2＝24，
当t＝24时，x＝5t＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离120m；
②设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度为，
∵x≥125，
∴5t≥125，
∴t≥25，
在 中，
当刚好落在M点时，即t＝25，y1＝0 时，n＝12.5，
∴若飞机落到回收区域，则n≥12.5，
答：发射平台相对于安全线的最低高度为12.5m．
23.（1）证明：如图3，延长线段BA到点F，使FB＝CB，连接FD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠CBD，
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD（SAS），
∴BF＝BC，∠F＝∠C＝45°，
∵∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADF＝∠F＝45°，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AB+AF＝BF，
∴AB+AD＝BC．
注：方法不唯一，如：
证明：如图2，在BC上截取BE＝AB，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠ABD，
在△EBD和△ABD中，
，
∴△EBD≌△ABD（SAS），
∴ED＝AD，∠BED＝∠A＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴∠C＝45°，
∵∠EDC＝∠C＝45°，
∴ED＝EC，
∴EC＝AD，
∴AB+AD＝EB+EC＝BC．
（2）证明：如图4，作CL⊥DB交DB的延长线于点L，则∠L＝∠A＝90°，
∵∠D＝45°，
∴∠LCD＝∠D＝45°，
∴CL＝DL，
∵∠ABD+∠ABC+∠LBC＝180°，∠ABD+2∠ABC＝180°，
∴∠ABD+∠ABC+∠LBC＝∠ABD+2∠ABC，
∴∠LBC＝∠ABC，
在△LBC和△ABC中，
，
∴△LBC≌△ABC（AAS），
∴LB＝AB，
∵CDDLBDLB，
∴BDAB＝CD．
（3）解：线段AC的长度是2，
理由：∵∠ABD+2∠ABC＝180°，∠ABD＝30°，
∴30°+2∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝75°，∠ACB＝15°，
在AC上取一点H，连接BH，使BH＝CH，则∠HBC＝∠ACB＝15°，
∴∠AHB＝∠HBC+∠ACB＝30°，
∵AB＝1，
∴BH＝CH＝2AB＝2，
∴AH，
∴AC＝CH+AH＝2，
∴线段AC的长度是2．