吉林省四平市伊通满族自治县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省四平市伊通满族自治县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1B．m＝1C．m≥1D．m≠0
解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
3．（3分）在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件
C．确定事件D．不可能事件
解：在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是随机事件，故B正确，
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣1B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1
解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．
故选：C．
5．（3分）如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠BCD＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
6．（3分）如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．B．（1，﹣1）C．D．
解：A1B1交x轴于H，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，
∴A1B1＝AB＝2，∠1＝45°，∠OA1B1＝45°，
∴∠2＝45°，
∴OH⊥A1B1，
∴OH＝A1H＝B1HA1B1＝1，
∴点A1的坐标为（1，﹣1）．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共32分）
7．（4分）抛物线的顶点坐标为 （0，0） ．
解：抛物线的顶点坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）．
8．（4分）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m且m≠0 ．
解：根据题意得m≠0且Δ＝12+4m＞0，
解得m；
所以m的取值范围为：m且m≠0．
故答案为：m且m≠0．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 相切 ．（填“相交”“相切”或“相离”）
解：作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CDBC＝2cm，
∵⊙C的半径是2cm，
∴CD等于圆的半径，
∵CD⊥AB，
∴⊙C与AB相切，
故答案为：相切．
10．（4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
11．（4分）实心球是一项力量性和动作速度项目，记录成绩的方法是测量掷球点与球着地点之间的水平距离．小强对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，则小强此次实心球训练的成绩为 10 米．
解：当y＝0时，则x2x0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝10，
∴该学生此次实心球训练的成绩为10米．
故答案为：10．
12．（4分）把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x、y、5的三条线段能构成三角形的概率为 ．（注：长度单位一致）
解：列表得：
因此，点A（x，y）的个数共有9个；
则x、y、5的三条线段能构成三角形的有4组：2，4，5；3，4，5；2，6，5；3，6，5；
x
y
1
2
3
1
（1，2）
（2，2）
（3，2）
2
（1，4）
（2，4）
（3，4）
3
（1，6）
（2，6）
（3，6）
可得P．
故答案为：．
13．（4分）如图，要拧开一个边长为a＝12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 12 mm．
解：如图所示：
设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝12mm，∠AOB＝60°，
∴cs∠BAC，
∴AM＝126（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MCAC，
∴AC＝2AM＝12mm．
故答案为：12．
方法2：设正六边形中心为O，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：
由题意可得：∠AOB60°，AO＝BO，
则△OAB是等边三角形，
∴AB＝BO＝AO＝12mm，
∵OC⊥AB，
∴OC＝OB•sin60°＝126（mm），
∴b＝2OC＝12（mm），
故扳手张开的开口b至少为12mm．
故答案为：12．
14．（4分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB＝∠ACB＝α，则α的值为 120° ．
解：∵∠ACB＝a，
∴优弧所对的圆心角为2a
∴2a+a＝360°
∴a＝120°．
故答案为：120°．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，足球比赛前，由裁判员抛掷一枚硬币，若正面向上则由甲队首先开球，若反面向上则由乙队首先开球．这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙两队公平吗？为什么？
解：这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙两队公平，理由如下：
抛掷一枚硬币，正面向上的概率，反面向上的概率，
∴甲队首先开球的概率＝乙队首先开球的概率，
∴这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙两队公平．
16．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A′B′C，若∠A＝30°，∠1＝80°，求∠BCB′的度数．
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A′＝30°，∠BCB′＝∠ACA′，
又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝80°，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝50°．
17．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0的一个根是3，求k值和方程的另一个根．
解：∵一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0的一个根是3，
∴9﹣3k+k﹣1＝0，
∴k＝4．
∴一元二次方程为x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
∴一元二次方程为x2﹣kx+k﹣1＝0的另一个根为1．
18．（5分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该二次函数关系式．
解：设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4
将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1
∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
四、解答题（每小题7分，共14分）
19．（7分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 中心 对称图形，都不是 轴 对称图形．（选填“轴”或“中心”）
（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影．
解：（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；
故答案为：中心，轴；
（2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等），
．
20．（7分）学校开展运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，小亮从第一组中抽卡片一张，小贾从第二组中抽卡片一张，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问通过这种抽卡片方式决定两人各自参加的概率是否相同？用列表或画树状图的方法说明理由．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两人抽出的卡片上的字母相同得结果数为4种，两人抽出的卡片上的字母不相同的结果数为8种，
所以小亮去参加的概率，小贾去参加的概率，
所以通过这种抽卡片方式决定两人各自参加的概率不相同．
五、解答题（每小题8分，共16分）
21．（8分）如图，⊙O的直径AB＝16，点C在⊙O上，OC⊥AB，点D为上一点，点E为OC的中点，且DE⊥OC，垂足为点E，求劣弧的长（结果保留π）．
解：如图，连接OD，
∵点E为OC的中点，
∴OEOCOD，
∵DE⊥OC，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴劣弧的长度为．
22．（8分）如图（1）是用总长为400cm的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形ABCD，该置物架上面部分是边长为x cm的正方形ABFE，中间部分为矩形EFHG，点M，N分别为线段HG，CD的中点，且DG＝40cm．
（1）当X＝45时，EG的长为 5 cm；
（2）置物架ABCD的高AD的长为 （180﹣2x） cm（用含x的式子表示）；
（3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于18cm，若矩形ABCD的面积为4000cm2，求x的值．
解：（1）依题意得：四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是正方形，
∴四边形EFHG，四边形CDGH，四边形CNMH均为矩形，
∴AB＝BF＝EF＝AE＝GH＝CD＝x cm，DG＝MN＝CH＝40cm，EG＝FH，
当x＝45时，则AB＝BF＝EF＝AE＝GH＝CD＝45cm，
∵矩形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的，
∴EG+FH＝400﹣（6×45+3×40）＝10（cm），
∴EG＝FH＝5（cm），
故答案为：5；
（2）∵AB＝BF＝EF＝AE＝GH＝CD＝x cm，DG＝MN＝CH＝40cm，EG＝FH，
∴EG+FH＝400﹣（6x+3×40）＝（280﹣6x）cm，
∴EG＝FH＝（140﹣3x）cm，
∴AD＝AE+EG+DG＝x+140﹣3x+40＝（180﹣2x）cm；
故答案为：（180﹣2x）；
（3）依题意得：AB＝AE＝x cm，
由（2）可知：AD＝（180﹣2x）cm，EG＝（140﹣3x）cm，
∵矩形ABCD的面积为4000cm2，
∴AB•AD＝4000，
∴x（180﹣2x）＝4000，
整理得：x2﹣90x+2000＝0，
解得：x1＝40，x2＝50，
当x＝40cm时，则EG＝140﹣3×40＝20（cm），
∵为了便于放置物品，要求EG的高度不小于18cm，
∴x＝40cm符合题意，
当x＝50cm时，则EG＝140﹣3×50＝﹣10（cm），不合题意，舍去，
∴x的值为40cm．
六、解答题（每小题10分，共计20分）
23．（10分）如图，点A，点B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点（点C不与点O重合），点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE＝2OC．设OE＝t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t＝ ；
（2）当t＝4时，S的值为 7 ；
（3）求出S与t的函数关系式．
解：（1）由题意可得∠BCD＝∠BOA＝90°，∠CBD＝∠OBA，
∴△BCD∽△BOA，
∴，
由题意可知：CD＝OE＝t，BC＝8﹣CO＝8t，OA＝4，
∴，
解得t，
∴当点D在直线AB上时，t；
故答案为：；
（2）当t＝4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，
则由△CBF∽△OBA得，
∴，
解得CF＝3，
∴SOC（OE+CF）2×（3+4）＝7；
故答案为：7；
（3）①当0＜t时，St2，
②当t≤4时，St2+10t﹣16，
③当4＜t≤16时，St2+2t，
理由如下：①当0＜t时，如图（1），
②当t≤4时，如图（2），
∵A（4，0），B（0，8），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
∴G（t，﹣2t+8），F（4，），
∴DFt﹣4，DGt﹣8，
∴S＝矩形CODE的面积﹣△DFG的面积＝t•（t﹣4）（t﹣8）t2+10t﹣16，
③当4＜t≤16时，如图（3），
∵CD∥OA，
∴△BCF∽△BOA，
∴，
∴，
∴CF＝4，
∴S＝S△BOA﹣S△BCF4×8（4）（8）t2+2t．
综上所述：①当0＜t时，St2，②当t≤4时，St2+10t﹣16，③当4＜t≤16时，St2+2t．
24．（10分）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，点E（m，0）是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
（1）求抛物线解析式；
（2）当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
（3）若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
则PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
当m时，PD最大．
∴P（，）；
（3）由（2）得PD2＝（﹣m2+3m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
∵PD＝BD时，则m＝﹣m2+3m，
解得：m＝0（舍去）或3，
∴点E的坐标为（3，0）．