福建省厦门市2024届高三数学下学期模拟考试试题含解析

这是一份福建省厦门市2024届高三数学下学期模拟考试试题含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁和平整等内容，欢迎下载使用。
数学试题
满分为150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整．
一、单选题
1. 若全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得或，而，
所以.
故选：B
2. 若，则（）
A. 1B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解.
详解】依题意，，则.
故选：B.
3. 若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（）
A. B.
C. 或D. 或与相交
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由可得或与相交，
比如在正方体中，
平面平面，平面平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，
故选：D
4. 展开式中，的系数为（ ）
A. B. 320C. D. 240
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，
因此项的系数为：，
故选：A.
5. 记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（）
A. 6B. 7C. 7或8D. 8或9
【答案】C
【解析】
【分析】要求取最小值时，先求的通项，由可得，求得，进而求得，根据的正负情况即可得解.
【详解】根据等差数列的性质可得，
所以，所以，
所以，，
当时，，
当时，，
所以当的取值为7或8时，取最小值.
故选：C
6. 设，，，设a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较．
【详解】解：构造函数，则，
当时，，函数在上为减函数，
而，，，又，
所以，即，
故选：A
7. 在平行四边形中，，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的运算律及数量积定义计算即可.
【详解】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，
由题意，所以，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.
故选：A
8. 已知双曲线的右顶点为，若直线与的两条渐近线分别交于，两点，且满足，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，将直线方程与渐近线方程联立，得到，两点的坐标，根据向量的坐标运算以及离心率公式再进行求解即可．
【详解】易知双曲线的渐近线方程为，
联立，解得，
即，
联立，解得，
即，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，解得，
则双曲线的离心率．
故选：C．
二、多选题
9. 已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（）
A. B. 是偶函数
C. 是函数的一个极值点D. 在单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解.
【详解】因为的最小正周期大于，
所以，即，
又关于点中心对称，
所以，
所以，因为，所以当时，，
所以，
对于，，故正确；
对于，，
由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；
对于，，令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，故正确；
对于，由，，
得，
函数的单调递增区间为，，
当时，，
当时，，
显然函数在上不单调，故不正确.
故选：.
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（）
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有60人
B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为170
D. 估计该学校学生身高的方差为236
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（）
A. 的图像关于点对称B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合，，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.
【详解】对于A中，设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，解得，
所以函数的图象关于对称，所以A正确；
对于B中，由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
则，
两式相减得，即，所以B不正确；
对于C中，令，
可得，
因为，所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
由，可得，所以，
因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，
所以，
由，可得，
即，令，可得，所以，
所以，所以，所以C正确；
对于D中，因为，且函数关于对称，可得，
又因为，令，可得，所以，
再令，可得，所以，
由，可得，
可得
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以
，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），
则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），
则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，
则①；②；③.
三、填空题
12. 已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设圆台母线长为，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长.
【详解】设圆台的母线长为，高为，则，
因为圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以圆台的侧面积，轴截面面积，
由已知，化简得，
所以
解得．
故答案为：2.
13. 已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数在处的切线方程，再由圆内弦长公式求得即可.
【详解】由，定义域为，，
则切线斜率，又，
所以切线方程为：，化简为：；
又因为圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则.
故答案为：
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为
，
所以的图象关于点中心对称．
因为，
所以，
两式相加得，所以．
由，得，
所以．
令，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
又，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
四、解答题
15. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
（1）求角；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值.
【小问1详解】
解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为，
则，可得，
由余弦定理得，
因为，所以.
【小问2详解】
解：设（其中为锐角），
在和中，由正弦定理可得且，
于是，
又因为，所以，
化简得，
根据同角三角函数的基本关系式，可得，
因为，联立方程组，解得，即.
16. 某校为庆祝元旦，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，游戏规则如下：该游戏共两关，第一关中四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字，才能进入第二关；第二关中四字成语给出其中两个字，剩余两个字全部填对得10分，只填一个且填对得5分，只要填错一个或两个都不填得0分．
（1）已知小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是，在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率．
（2）在过第二关时，小李每个字填与不填是等可能的，且每个字填对与填不对也是等可能的．记表示小李在第二关中得到的分数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式和条件概率公式计算即可；
（2）首先得到的可能取值为0，5，10，再根据独立事件的乘法公式一一计算分布列，最后得到其数学期望.
【小问1详解】
记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”，
则，
由全概率公式可得，
则所求概率为.
【小问2详解】
设事件表示小明填了个字，表示填到的字都是正确的.
的可能取值为0，5，10，
，
，
.
随机变量的分布列为
故.
17. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接、，
因为四边形为菱形，
所以是边长为的正三角形，
因为为中点，所以，，
又因为，平面，所以平面，
又平面，
所以，
又，，，
所以，所以，
又因为平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为直线两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，所以，
由题意知，是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数有两个极值点，且，若恒成立，求最小值．
【答案】（1）极大值；极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，利用导数即可判断函数单调性，求得极值.
（2）对函数求导，结合已知条件得方程有两个相异的正根，利用为韦达定理求得，再结合，求出范围，进而确定的范围，由，得，构造函数，利用导数判断函数单调性确定函数最值，即可求解.
【小问1详解】
当时，有，
令，即，解得或，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
所以时，取得极大值，极大值为，
时，取得极小值，极小值为.
【小问2详解】
因为，
所以
由已知函数有两个极值点，
所以方程有两个相异的正根
所以，即或，
又，所以，，所以；
所以对称轴为，二次函数与轴交点为、，
且，所以在对称轴的右侧，则有，
因为，即，
所以，其中，
令，
则，
令，解得均不在定义域内，
所以时，，在上单调递减，
，
所以，即最小值为.
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为定值；
（3）已知，用表示的面积，并求出的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），
【解析】
分析】（1）根据条件得到，求出，即可求出结果；
（2）设，，利用条件得，，再利用，在椭圆上，即可得到，，从而证明结果；
（3）利用，再根据条件得到，最后使用不等式求出最大值.
【小问1详解】
由题知，得到，又，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设，，
则，，，，
由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，所以，
即为定值.
【小问3详解】
因为，
又因为，，故，.
所以，，从而
.
又，故.
然后考虑的最大值.
首先，由于，故.
同时由可知，
故，从而，故.
这意味着；
另一方面，当的坐标是时，有，，此时.
所以的最大值是.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用，再结合条件得到，再利用不等式来求出最大值.