福建省福州市2024届高三数学下学期5月模拟试题含解析

这是一份福建省福州市2024届高三数学下学期5月模拟试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合，，再求.
【详解】由，所以；
由，所以.
所以.
故选：B
2. 已知，向量，若，则实数（）
A. B. C. -2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，用坐标表示数量积，即得解
【详解】由
可得
，因为，所以.
故选：D
3. 等比数列的前项和为，若，，，，则（）
A. 30B. 31C. 62D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】先求等比数列的通项公式，再求.
【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列.
，且，所以，，
所以，。
所以.
故选：B
4. 将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（）
A. 54B. 45C. 36D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】利用整体法，结合分配分组法求解即可.
【详解】将甲和乙视为一人，则问题转化为将四个人分配到三个社区，且每个社区都被分配至少一人.
此时，三个社区被分配的人数必定是：两个社区恰被分配一人，一个社区恰被分配两人.
被分配到两人的社区有3种选择，一经选择，分配方法有种.
从而不同的方法数为.
故选：C.
5. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】当时，，函数是偶函数，
当时，，，
当时，，
，即曲线在处切线的斜率为-5.
而，所以曲线在处的切线方程为：.
所求即为.
故选：A.
6. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积.
【详解】如图：
设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以.
因为的面积为，所以.
又.
所以圆锥的表面积为：.
故选：B
7. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得．
【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
由题意得：，整理得：，
两边取常用对数得：，即，
即，
所以，即，
所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
8. 在中，角所对应的边分别为，点为边的中点，若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，然后用三角函数定义证明，再使用正余弦定理即可求得结果.
【详解】
由已知有，解得（舍去），所以.
设为的中点，由于，故，从而，所以.
由余弦定理得，所以由正弦定理得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的是（）
A. 数据的第50百分位数为32
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据第50百分位数为中位数判断A，根据正态分布的性质判断B，根据回归直线方程的性质判断C，根据方差的性质判断D.
【详解】对数据排列：，因为第50百分位数为中位数，所以50百分位数为，故A错误；
因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，故B正确；
因为，，，则，故C正确；
因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（）
A. 当为上一点时，的面积为1
B. 当为上一点时，的值可以为1
C. 当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于
D. 当点在的外部时，在上必存在点，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，求的面积，判断A 的真假；根据A的结论和的取值范围，判断B的真假；根据点在椭圆内部，判断，的关系，确定离心率的取值范围；根据点在椭圆内部，判断的大小.
【详解】对A：如图：
因为点在椭圆上，不妨设点在第一象限，所以，
又因为，所以.
所以，所以，故A正确；
对B：因为，，所以，而.
所以不可能为1，故B错误；
对C：如图：
当都在椭圆内部，则，故C正确；
对D：如图：
当在的外部时，因为，所以以，为直径的圆与椭圆必有交点，不妨取，则，故D正确.
故选：ACD
11. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（）
A. 存在点，使平面
B. 存在点，点到直线的距离等于
C. 过四点的球的体积为
D. 过三点的平面截正方体所得截面为六边形
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可；对于B，设，然后解方程即可；对于C，利用外接球的性质求出其半径，再求其体积即可；对于D，直接构造出相应的截面即可.
【详解】
对于A，当是的中点时，由于是的中点，故.
而，且，故四边形是平行四边形，所以，从而.
而在平面内，不在平面内，所以平面，故A正确；
对于B，设，则，，.
所以，
这就得到
故点到直线的距离，故B错误；
对于C，设的中点为，过四点的球的球心为，在平面上的投影为，则.
由可知平面，再由可知是的中点.
所以球的半径.
从而球的体积，故C正确；
对于D，分别在上取点，使得.
则过三点的平面截正方体所得截面为六边形，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对线面平行的判定定理的使用.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数满足（是虚数单位），则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数模的性质进行运算.
【详解】因为，所以.
故答案为：
13. 能够说明“若对任意的都成立，则函数在是减函数”为假命题的一个函数是___________．（答案不唯一）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出一个符合题意的函数即可.
【详解】满足对任意的都成立，
但在不单调，即函数在是减函数为假命题，
故答案为：（答案不唯一）.
14. 设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件：
①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆．
若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于______，最大值等于______．
【答案】 ①. 0 ②. 1012
【解析】
【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值.
【详解】由题意：取，，
因为：，，，，
所以，则为最小值；
取，，
为最大值.
故答案为：0；1012
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列中，，．
（1）证明：数列为常数列；
（2）求数列的前2024项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可.
（2）由（1）求出数列的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可.
【小问1详解】
依题意，
，
则化为，
而，则，因此，
所以数列为常数列.
小问2详解】
由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令，
所以数列的前2024项和
.
16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，分别为的中点.
（1）证明：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，先证，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，用向量的方法证四点共面.
（2）求平面法向量，用空间向量求直线与平面所成的角的大小.
【小问1详解】
如图：取中点，连接，.
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以；
又四边形是直角梯形，且，，
所以四边形为正方形，所以；
在中，，，由得：.
所以，，两两垂直.
以为原点，建立如图空间直角坐标系：
则，，，，，
因为为中点，所以，因为为中点，所以，
则，，
所以.
因为，所以四点共面.
【小问2详解】
因为，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成的角为，
则.
17. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.
【答案】（1）（i）0.26；（ii）；（2）新聘骑手应选择区域A，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，进而结合频率分布直方图和独立事件的乘法公式计算即可；
（ii）设为选择区域A的骑手人数，则，再根据二项分布概率公式计算即可；
（2）分别计算选择区域A和区域B骑手日工资的期望，进而决策.
【详解】解：（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，
则，，
结合频率分布直方图知，，，
所以，
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26.
（ii）设为选择区域A的骑手人数，则，
.
（2）设为区域A骑手日工资，则随机变量分布列为
.
设为区域B骑手日工资，则随机变量分布列为
.
因为，所以新聘骑手应选择区域A.
18. 已知双曲线上、下顶点分别为．
（1）若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值；
（2）过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切．
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）把直线方程和双曲线方程联立，消去，利用根与系数的关系，得到和，并分析两者之间的关系，再表示，化简即可.
（2）设切点坐标，利用导数写出两条切线方程，求出交点，利用焦点在双曲线上，得到弦所在的方程的特点，再利用点到直线的距离公式验证直线与圆的位置关系.
【小问1详解】
由双曲线可知其焦点坐标为，
如图：
易知，.
由得：，整理得：，.
，设，.
则，，所以.
因为：，，
所以.
【小问2详解】
证明：由，求导得：.
设，，，则，
则切线的方程为：，
同理切线的方程为：，
为，的交点，联立以及，
可得：.
因为直线必存在斜率，设直线方程为：，
代入得，需满足，
则，，所以，
又在双曲线上，所以.
所以原点到直线的距离：.
所以直线与圆相切．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线和双曲线以及抛物线的位置关系的应用问题，综合性强；解答的难点在于计算量较大，计算过程复杂，并且计算基本都是字母参数的运算，一不小心，就会出错,
19. 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）证明：时，；
（2）求函数在内的零点个数；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）零点个数为1个 （3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，构造新函数，利用导数求新函数的最值，即可证得不等式成立；
（2）求出的解析式，对分类讨论，分段判断函数的零点个数，综合可得答案；
（3）令，求导，分，和三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，从而可得符合条件的的取值范围.
【小问1详解】
令，则，
所以在单调递增，所以，
所以时，；
再令，则，
所以在单调递增，所以，
所以时，.
综上所述，时，.
【小问2详解】
，
，
①时，由（1）知，
，没有零点；
②时，，所以是函数的零点；
③当时，，
令，则，
则函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递减，则，在没有零点；
④当，，没有零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
【小问3详解】
由（2）知，当时，，
令
，
则，令
，故单调递增，
①当时，，
，
使得，
当时，，单调递减，不符合题意；
②当时，，若时，总有（不恒为零），
则在上为增函数，
但，故当时，，不合题意.
故在上，有解，故，使得，
又在时单调速增，所以当时，，单调递增，
故当时，，不符合题意，故不符合题意；
③当时，，由于单调递增，，
故时，，单调递减；
时，，单调递增，此时，
当时，；
综上可得，.
【点睛】方法点睛：证明时，时，利用作差法，构造新函数，，利用导数求新函数的最值，即可证得不等式成立.100
150
200
250
350
400
0.05
0.1
0.25
0.3
0.2
0.1
150
190
270
400
480
0.25
0.25
0.3
0.15
0.05