2024-2025学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
2.设e1，e2为一组基底，已知向量AB=e1−ke2，BC=2e1−e2,CD=3e1−3e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值是( )
A. 2B. −2C. 45D. 15
3.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a= 2,b=1,A=45°，B=( )
A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°
4.已知平面向量a，b满足a⋅(a+b)=3，且|a|=2，|b|=1，则向量a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知|a|=2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影向量为( )
A. eB. − 3eC. 3eD. −e
6.已知A(−1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，则点P的坐标为( )
A. (53,23)或(7,−2)B. (53,23)C. (2,1)或(7,−2)D. (7,2)
7.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+acsB=a，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
8.在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若AP=mAB+nAC，则m+n=( )
A. 37B. 47C. 67D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=21+ 3i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数z的共轭复数的模为1B. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
C. 复数z是方程x2+x+1=0的解D. z−3=−1
10.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a/​/b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是( )
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若BB′=3,sin∠ABB′=5 314，则A′B′=2
C. 若AB=2A′B′，则AB′= 10BB′
D. 若A′是AB′的中点，则△ABC的面积是△A′B′C′面积的5倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，c=(1,λ).若c//(2a+b)，则λ= ．
13.如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD=45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则该船行驶的距离为______km．
14.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA−sinBsinC=c−ba+b，若a=2 3，则b2+c2的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(m2−6m+8)+(m−2)i(m∈R)．
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°求：
(1)a⋅b的值；
(2)|2a+b|的值；
(3)2a+b与b的夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(B−C)=sinB−sinA．
(1)求C；
(2)若c=2 3，△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S1，a= 5．
(1)证明：S1=5sinBsinC2sinA；
(2)若8 3S1⋅sinA=10 3cs(B−C)+5，求sinA的值；
(3)在(2)的条件下，若b= 3，D是AB的中点，现需要对纸片△ABC做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积S2．
19.(本小题17分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0