2024—2025学年度吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段试题[含解析]，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A. B.
C. D. 或
2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A
B.
C.
D.
3. 已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（ ）
A 6B. 2C. 1D.
5. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D. 3
8. 已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知直线，，则（ ）
A. 过定点B. 当时，
C. 若，则D. 当时，的斜率为0
10. 已知圆，圆，则下列说法错误的是（ ）
A. 若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是
B. 若，则圆，公共弦长为
C. 圆上的点到直线的最短距离为
D. 过点作圆的切线，则的方程是
11. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ）
A. 双曲线的离心率为B.
C. D. 面积为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）
12. 已知直线与直线间的距离为，则_____
13. 若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是_______
14. 已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）
15 已知直线，圆．
（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
（2）若圆与关于直线对称，求标准方程．
16. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程；
（2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程.
17. 已知椭圆离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且，求的值.
18. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积.
（3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求PQ.
19. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等，
（1）求椭圆C的标准方程
（2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
2024-2025学年吉林省延边高二上学期第一次月考数学阶段
检测试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A. B.
C. D. 或
【正确答案】D
【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得.
【详解】若表示椭圆，则有，
解得或.
故选：D.
2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】A
【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.
【详解】由在圆上，故圆心在直线上，
由在圆上，故圆心在直线上，
即圆心，半径，
故方程为.
故选：A.
3. 已知双曲线的焦距为6，直线与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知列式计算即得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，
由双曲线焦距为6，得，所以.
故选：A
4. 已知点，，直线：与线段有交点，则的值不可能是（ ）
A. 6B. 2C. 1D.
【正确答案】D
【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围．
【详解】直线整理可得，
联立，解得，，
即直线恒过定点，
可得，因为，的横坐标相同，所以斜率不存在，
所以直线与线段有交点，则直线的斜率，
而直线斜率，解得．
故选：D．
5. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可.
【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，
直线方程为，或，将点代入上式，解得
直线的方程为或.
故选：C.
6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】设椭圆的标准方程为，由椭圆的面积公式，离心率得到与的关系，解出、即可.
【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又，
联立解得．所以椭圆的标准方程为．
故选：D.
7. 若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D. 3
【正确答案】D
【分析】令且，利用两点距离公式求动点轨迹，结合轨迹圆的性质求三角形面积的最大值.
【详解】令且，则，整理得，
所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
要使△PAB面积最大，只需到直线的距离最大，故最大值为.
故选：D
8. 已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上但不在坐标轴上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据椭圆的对称性可知，可转化为焦点三角形顶角为，根据顶角的取值范围可知离心率的最值.
【详解】
设椭圆的左焦点为，上顶点为，
由，，
可知四边形平行四边形，且为中点，
又，，
则，分别为，中点，
所以，，
由，
可知，
则四边形为矩形，
即，
即在椭圆上存在点使得，
所以，即，
即，即，
所以，
所以，即，
则，
又椭圆离心率，
则，
故选：A.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知直线，，则（ ）
A. 过定点B. 当时，
C. 若，则D. 当时，的斜率为0
【正确答案】AB
【分析】对A，将直线变形求出定点判断；对B，代回直线方程验证判断；对C，根据两直线平行的充要条件列式计算；对D，将代回直线方程验证判断.
【详解】对于A，由得，令，得，
所以直线过定点，故A正确；
对于B，当时，直线，，所以，故B正确；
对于C，由，则，解得，故C错误；
对于D，当时，，此时的斜率不存在，故D错误.
故选：AB.
10. 已知圆，圆，则下列说法错误的是（ ）
A. 若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是
B. 若，则圆，公共弦长为
C. 圆上的点到直线的最短距离为
D. 过点作圆的切线，则的方程是
【正确答案】ABD
【分析】A选项：根据圆的一般式，可得，再由于过点可作两条切线，则在圆外，可得参数范围；B选项：联立两圆，可得公共弦方程，再根据垂径定理可得弦长；C选项：根据圆心到直线的距离可得最短距离；D选项：设切线方程，结合圆心到直线的距离，解方程即可得解.
【详解】A选项：，即，
则，即，
又过点可作两条切线，则点在圆外，
即，解得或，
综上所述或，即，A选项错误；
B选项：时，，
由，即，圆心，半径，
则公共弦方程为，即，
圆心到直线的距离，则弦长为，B选项错误；
C选项：到直线的距离，
则圆上的点到直线距离的最小值为，C选项正确；
D选项：由点在圆外，所以过点作切线有条，
当直线斜率存在时，设直线，即，
则圆心到直线的距离，解得，
即直线方程为；
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足与圆相切；
综上所述，直线的方程为或，D选项错误；
故选：ABD.
11. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ）
A. 双曲线的离心率为B.
C. D. 面积为
【正确答案】AC
【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，，利用余弦定理可得，，进而依次判断求解各个选项.
【详解】由题意，可得，由于，
可知直线过右焦点，斜率，
设直线的倾斜角为，则，解得，
设，由，可得，，，
对于A，在中，可知，，
由余弦定理得，，
即，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为，故A正确；
对于B，因为，所以，
在中，，
所以，故B错误；
对于C，在中，，
所以，
即，解得，即，故C正确；
对于D，由，可得，
所以的面积为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上）
12. 已知直线与直线间的距离为，则_____
【正确答案】或
【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可.
【详解】直线与直线之间的距离，
解得或，
故或.
13. 若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是_______
【正确答案】
【分析】根据离心率公式，结合离心率与椭圆扁平程度的关系即可求解,即可根据长轴公式求解.
【详解】的离心率为，
由于比椭圆更扁，故的离心率满足，即，解得，
故长轴长为，
故
14. 已知双曲线的右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，，且，则双曲线的离心率为___________.
【正确答案】
【分析】写出点A，F坐标，双曲线C的渐近线方程，利用给定的向量关系，求出点B坐标，代入双曲线方程即可得解.
【详解】双曲线中，A(a，0)，渐近线，设右焦点为F，
由,即，直线l：x=a，
由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设，则，，
因，则，解得，
即点，又点B在双曲线C上，则有，
解得，因e>1，则.
故
方法点睛：求双曲线的离心率，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，然后将等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e．
四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程）
15. 已知直线，圆．
（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解.
（2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解.
【小问1详解】
将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．
因为，所以可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
【小问2详解】
设的圆心为，由与关于直线对称，
可得，解得
所以的标准方程为．
16. （1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程；
（2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程.
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解；
（2）由外切可知，，即，根据双曲线的定义可轨迹方程.
【详解】（1）设点，由题意得：，
化简得：
所以点的轨迹方程是；
（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，
由题意可得，
所以，
即圆心满足到定点、的距离之差为定值，
所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此，圆心轨迹方程为.
17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据椭圆的定义表示焦点三角形周长，再结合离心率可得椭圆方程；
（2）由椭圆定义可知，结合，可得，，根据余弦定理可知，进而可得.
【小问1详解】
由已知椭圆离心率，则，
又的周长为，
解得，，
所以，
即椭圆方程为；
【小问2详解】
由已知点在椭圆上，则，
又，解得，，
又，
则，
所以.
18. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积.
（3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求PQ.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解；
（2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积；
（3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解.
【小问1详解】
由已知双曲线的实轴长为，即得，
所以双曲线方程为，
又双曲线过点，则，
解得，
则双曲线方程；
【小问2详解】
联立双曲线与圆的方程，
即，解得，
由点在第一象限，则，
又，
所以；
【小问3详解】
由已知直线，即，

联立直线与双曲线，即，
得，，
且，，
则弦长.
19. 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等，
（1）求椭圆C标准方程
（2）点（）与上的点之间的距离的最大值为6．过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析 ；②
【分析】（1）将点的坐标代入，结合，，即可求解，
（2）①根据两点距离公式，结合二次函数的性质可得，即可联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据点斜式求解直线的方程为，代入化简即可求解，②根据点到直线距离公式以及弦长公式表达出面积，，利用换元法，以及对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，且，，
解得，
故椭圆方程为：
【小问2详解】
设是椭圆上一点，则，所以，
所以（），
因为，所以当时，，
，解得或（舍去），所以
证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（），
，，，联立直线和的方程，
得消去并化简，得，
所以，
解得，且．
又点在点的右侧，则，且，，
所以直线的方程为，
所以，
因为
，
所以，所以直线过定点．
②由①知直线的方程为，设，则，
，将，代入，
可得，由，且，得的取值范围为．
由消去并化简得，则，，．
，
原点到直线的距离为，所以``，
令，由的取值范围为，得的取值范围为．
又函数在上单调递增，所以，的值域为．
所以的取值范围是，所以面积的取值范围为．
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.