湖北省武汉市东西湖区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市东西湖区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：120分 时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑．
1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 5，，B. 5，2，C. ，2，1D. ，，
答案：B
解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故选：B．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 明天下雨B. 篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C. 掷一枚硬币，正面朝上D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
答案：D
解：A、明天下雨是随机事件，故不符合题意；
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中是随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故符合题意；
故选：D．
3. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵
∴
即，
故选：A．
5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解；将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为，即，
故选：C．
6. 在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作，判断原点与的位置关系为（ ）
A. 点在外B. 点在上C. 点在内D. 以上都有可能
答案：A
解：∵点，
∴．
∵的半径为2，且，
∴点O在外．
故选：A．
7. 若抛物线的顶点在轴上，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
∵若抛物线顶点在轴上，
∴顶点的纵坐标为0，即，
解得．
故选：D
8. 经过某十字路口的汽车可能直行也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，只有一辆汽车向左转的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：根据题意，画出树状图，如图，
由图知，一共有27种等可能结果，其中只有一辆汽车向左转的结果有12种，
∴只有一辆汽车向左转的概率为．
故选：B．
9. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解：如图，
由题意得：，，
解得：，.
故选：D．
10. 如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
如图，设与直线、、的切点分别为D、E、F，与直线、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，
则，,
由切线长定理得，，
，，
，
，
又，
，
．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为___________．
答案：
解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故答案为：．
12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是______.
答案：
解：由题知，射击次数越多，“射中8环以上”的频率越接近，
所以这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是．
故答案为：．
13. 2023年，某省新能汽车产能达到万辆．到了2025年，该省新能汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列方程为___________．
答案：
解：由题意可列方程为；
故答案为．
14. 已知一个圆锥底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为________．
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中8环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
答案：##144度
设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得
，
，
圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
故答案为：．
15. 二次函数（，，均为常数，且）的图像经过点，点，则下列结论：
①；
②；
③若点，在抛物线上，若，则；
④若关于的方程没有实数根，则．
其中结论正确的序号是________________．
答案：①③④
∵,
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线与x轴的两个交点、位于y轴两侧，
∴，
故结论①正确；
∵抛物线的对称轴为
∴，
由可知时，，
，
，
故结论②错误；
∵
∴可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而在B点右侧，
，
当点在A、B之间时，此时；
当在B点右侧时， 此时、都在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴，
∴当时，，
故结论③正确；
若关于x的方程没有实数根，
则，
，
，
故结论④正确．
综上，正确的有①③④
故答案为：①③④
16. “数缺形时少直观，形无数时难人微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点
，，两点均在轴上，且，，则为________（用含、的代数式表示），的最大值为________．
答案： ①. ②.
解：∵，，，
∴，
，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵P在以点为圆心，以1为半径的圆上，
∴当O、C、P三点共线，且点C在线段上时有最大值，即此时有最大值，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，34．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根．
答案：，另一根为
解：方程的一个根为3，
，
解得，
设另一根为，
，
，
∴另一根为．
18. 如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．

（1）可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程；
（2）已知，，直接写出四边形的面积为________．
答案：（1）是由绕点A顺时针旋转得到
（2）25
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
，
．
19. 一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是1，2，4，7．这些小球除标有的数字不同外其他都相同．
（1）从这个袋子里随机摸出一个小球，摸出标有数字“2”的小球的概率是________；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请运用画树状图或列表的方法，求这个两位数是偶数的概率．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出标有数字“2”的小球的概率是．
【小问2详解】
解：画树状图如下

由树状图可知一共有16种可能，且每种结果出现的可能性相同，其中这个两位数是偶数的结果数有8种，
这个两位数是偶数的概率为．
20. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案：（1）详见解析
（2）
小问1详解】
证明：是的直径，，
，
又，
，
，
．
【小问2详解】
解：连接，
，
，
又，，
，
，，
，
由（1）可知，
∴；
设，
，
在中，
，
解得：，
，
．
21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，完成下列各题：

（1）在图1中，先画出圆心，再画的中点；
（2）在图2中，先在上画出点，使；再在弦上画出点，使．
答案：（1）详见解析
（2）详见解析
【小问1详解】
如图所示，圆心，点即为所求；

∵由网格可得，
∴
∴是的直径，
∴的中点是的圆心M，
∴由网格的特点可得，点N即为的中点；
【小问2详解】
如图所示，

根据网格中对称的性质得到，
∴；
由网格的特点得，
∴
∵是直径
∴
∴
又∵，
∴
∴．
22. 小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分．

（1）求，的值；
（2）若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由．
（3）若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围．
答案：（1），
（2）小红不能接住沙包，详见解析
（3）
【小问1详解】
解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
【小问2详解】
小红不能接到沙包；理由如下：
∵小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，
∴，
∴；
当时：，
∵，
∴小红不能接到沙包；
【小问3详解】
∵小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，
∴，，即：，，
由题意，得：小红能接到红包的最低点为：，最高点为，
当经过时：，解得：；
当经过时：，解得：；
∴的范围为：．
23. 操作与思考：（1）如图1，为等边三角形，点为外一点，连接，并以为边作等边，连接，．求证：；
迁移与运用：（2）如图2，点在等边内，，点为的中点，连接，．
①求证：
②若，，则的边长为________．（直接写出）
答案：操作与思考：（1）详见解析；迁移与运用：（2）①详见解析；②
操作与思考：（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴；
迁移与运用：（2）①证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，
∵，
∴等边三角形，
∴，
∵，
∴，
延长到点G，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
24. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上．
（1）填空：________，________，点的坐标为________；
（2）如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标；
（3）如图2，点是轴下方抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重
合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值．
答案：（1），，
（2）或
（3）
【小问1详解】
解：将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
当时，，解得或，
则点的坐标为，
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：①如图，当点在轴下方的抛物线上时，设交轴于点，
则，，
要使，则，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点），
，符合题设，
∴此时点的横坐标为；
②如图，当点在轴上方的抛物线上时，
要使，则，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，
∴点与点关于二次函数的对称轴对称，
二次函数的对称轴为直线，
∴点的坐标为，
综上，点的横坐标为或．
【小问3详解】
解：设点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
同理可得：直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
∴，，
，
∵点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值，即对于在内的任意的值，为定值，
，
解得，
，
，
．