山西省太原市实验中学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省太原市实验中学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了答题前填写好自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2、请务必将试卷中所有题目的答案填写在答题卡上．
一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
2．关于的方程有一个根为则另一个根为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．5
4．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．平分
5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）

A．AB=ACB．AB=BCC．BE平分∠ABCD．EF=CF
7．中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有人，那么小明发短信的人数为（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（ ）
A．AB=CDB．AC⊥BDC．AC=BDD．AD∥BC
10．数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
A．甲、乙都是B．甲、乙都不是C．只有甲才是D．只有乙才是
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.

13．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为 ．
14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．
15．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ．
三、解答题（共8个题目，16、17小题各10分，共20分；18题7分，19题9分，20题8分，21题9分，22题8分，23题14分）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．选择恰当的方法解下列方程
(1)
(2)
18．如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由．
19．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
20．【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点．若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．
21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商平台助力乡村振兴，帮助农户销售一种黑衣花生．从农户手中的进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克．调查发现，当售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克．
(1)当售价每千克降低元时，每天销售这种花生______千克，每天获得利润______元；
(2)若要使每天的利润为元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种花生应降价多少元？
23．如图1，在矩形ABCD中，，，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为，连接、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求AF的长；
(3)如图（2），动点P，О分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点自停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒2cm，点的速度为每秒1.2cm，运动时间为t秒，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．

乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．

1．A
解：由题意，可知，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．C
解：设原方程的另一根为x，则：
，
∴x=4+1=5，
故选C．
3．A
解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4．
故选A．
4．D
解：在矩形中，，但，
∴即便也无法证明Rt与Rt全等，
∴无法证明，故选项A不符合题意；
无法证明，
∴无法证明，故选项B不符合题意；
连接，

仅有，，无法证明与全等，
∴无法证明，故选项C不符合题意；
过点D作，，连接，

在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，即平分，故选项D符合题意，
故选：D．
5．D
解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．
6．A
解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=BC，EF=AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，∴∠ABE=∠EBC
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB
∴∠ABE =∠DEB
∴BD=DE
∴四边形DBFE是菱形，
故C正确，不符合题意，
当EF=FC，
∵BF=FC
∴EF=BF，
∴四边形DBFE是菱形，
故D正确，不符合题意，
故选A．
7．D
解：设小明发短信给个人，
由题意得：，
，
，
，
，
，（不合题意舍去），
小明发短信给个人，
故选：D．
8．D
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=（10-x）2，
故选：D．
9．B
解：连接AC，BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
要使四边形EFGH为矩形，
则EF⊥EH，
则AC⊥BD，
故选：B．
10．A
解：甲中，如图，连接，

∵矩形，
∴，
∴、、、、分别是、、、的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知，，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
故选：A．
11．k＜1．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
12．10
解：设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，
4x2-50x+x2=0，
5x(x-10)=0，
x1=0 (舍去), x2=10 (秒).
∴10秒后P、Q两点相距25cm.
故答案为10.
13．
解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
∴2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积＝AE•BC＝．
故答案为．
14．12
解：设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为12．
15．2
解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
16．(1)，
(2)，
（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
17．(1)
(2)
（1）解：，
，
解得；
（2）解：，
提取公因式，得，
解得．
18．四边形是菱形，见解析
解：四边形是菱形；
理由：连接与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
19．(1)
(2)应降价5元
（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
（2）设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
20．【推理】见解析；【运用】；【拓展】
解：证明：四边形是正方形，
，
．
由题意得：垂直平分，
，
，
，
，
在和中，
，
；
解：，理由：
连接，如图，
由题意得：，
，
点是的中点，
，
．
在和中，
，
，
．
由题意：，
，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
解：AN的最小值是，理由：
由题意得：垂直平分，
，
即点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，
是的中点，
，
，
∴点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，如图，
则，．
，
当，，三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，
故答案为：．
21．所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
22．(1)，
(2)每千克这种花生应降价元
（1）解：进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克，售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克，
∴当售价每千克降低元时，售价为每千克元，销量为（千克），
∴获得的利润为（元），
故答案为：，．
（2）解：设每千克这种花生应降价元，
根据题意得：，整理得，，
解方程，得，，，
∵要尽快减少库存，
，
∴每千克这种花生应降价元．
23．(1)见解析
(2)AF的长是5cm
(3)以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形．
∴AF＝FC，
设AF＝xcm，
则CF＝xcm，BF＝（8﹣x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，即AF＝5cm；
（3）如图，由题意知，当点P在BF上，点Q在DE上时，才能构成平行四边形，
∴以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴
∵点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1.2cm，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
解得，
∴以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．