陕西省西安高新第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安高新第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解是( )
A．B．
C．D．
3．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？设将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图是函数的图象，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A．B．C．D．
8．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ）
A．1B．12C．13D．14
二、填空题（本大题共5小题）
9．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为 ．
10．分解因式： ．
11．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ．
12．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
13．如图，等边△ABC中，BC＝12，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE＝2，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，连接DF，则线段DF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
14．将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
15．解不等式组，并将解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
16．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
(1)将沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点、、坐标；
(2)将关于原点对称得到，请画出．
17．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：

(1)沿方向平移的距离；
(2)四边形的周长．
18．先因式分解再求值，已知，，求．
19．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若,，求的长．
20．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：
已知，，为的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
21．小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．
(1)根据要求如何购买大小两种笔记本？有哪几种购买方案？请你设计出来；
(2)为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说明理由．
22．（问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
(1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______．
(2)在（1）的基础上，求四边形的面积．
(3)（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据定义求解即可．
【详解】解：A、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．【答案】C
【分析】因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，结果不是积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
D. ，右边不是整式的积，故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
3．【答案】D
【分析】根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴A，B，C不符合题意；
∵，
∴，D符合题意；
故选D．
4．【答案】B
【分析】根据“左减右加，上加下减”进行解题即可．
【详解】解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新点的横坐标：，纵坐标为：，即．
故选B．
5．【答案】D
【分析】直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案．
【详解】解：设将该商品打折销售，则售价为，
则利润为，
根据题意可得：，
故选D．
6．【答案】A
【分析】正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量x大于0．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【详解】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而增大，
∴不等式的解集是．
故选A．
7．【答案】A
【分析】由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵将逆时针旋转得到，
∴，
∴当时，
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
故选A．
8．【答案】C
【分析】根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．
【详解】解：由图2可得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选C．
9．【答案】x≤3
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是：x≤3．
10．【答案】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
11．【答案】5
【分析】先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵多项式进行因式分解得到，
∴，
∴
12．【答案】
【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可．
【详解】解：由，得，
由，得，
关于的不等式组有且只有个整数解，
这个整数解是，，，，，
，
解得：，
满足条件的整数的值为，，，
符合条件的所有整数的和为
13．【答案】
【分析】以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，由等边三角形的性质和勾股定理可求AD＝6，由等边三角形的性质可证△AEG≌△FED，可得DF＝AG，根据三角形的三边关系，可得当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，则可求线段DF的最小值．
【详解】解：如图，以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC中点，
∴BD＝CD＝6，AD⊥BC
∴AD＝＝6，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵△DEG是等边三角形
∴DE＝EG＝2，∠GED＝60°＝∠AEF
∴∠AEG＝∠FED，
在△AEG和△FED中，
，
∴△AEG≌△FED（SAS），
∴DF＝AG，
∵AG≥AD﹣DG，
∴当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，
∴DF最小值＝AD﹣DG＝6﹣2
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
15．【答案】(1)，作图见解析
(2)，作图见解析
【分析】（1）先解不等式①，再解不等式②，即可求解；
（2）先解不等式①，再解不等式②，即可求解；
【详解】（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示，

（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示，

16．【答案】(1)图见解析，，，
(2)图见解析
【分析】（1）直接利用平移的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到，并根据平移确定各点的坐标；
（2）利用原点对称的性质，确定平移后的对应点，再顺次连接各点得到．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图知，，，．
（2）解：如图，即为所求．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离；
(2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果．
【详解】（1）∵沿方向平移至，
∴．
∵，
∴；
即沿方向平移的距离是．
（2）由平移的性质可得：，
∵，
∴四边形的周长 ．
∴四边形的周长是．
18．【答案】因式分解得，
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，利用积的乘方化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
20．【答案】是等腰三角形，证明见解析
【分析】把化为，再进一步解答即可．
【详解】解：是等腰三角形．
理由：，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形．
21．【答案】(1)①购买大的笔记本本，小的笔记本本；②购买大的笔记本本，小的笔记本本；③购买大的笔记本本，小的笔记本本；
(2)选择方案①购买，费用最低．
【分析】（1）设购买大笔记本本，则小笔记本购买本，再根据表格信息建立不等式组可得，再进一步求解可得答案；
（2）设购买总费用为元，可得，再利用一次函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：设购买大笔记本本，则小笔记本购买本，则
，
解得：，
∵为整数，
∴或或，
∴一共有3种方案；
①购买大的笔记本本，小的笔记本本；
②购买大的笔记本本，小的笔记本本；
③购买大的笔记本本，小的笔记本本；
（2）解：设购买总费用为元，则
，
，
∴随的增大而增大，
∵或或，
∴当，取最小值为元．
∴选择方案①购买，费用最低．
22．【答案】(1)等边
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，所以是等边三角形；
（2）知等边三角形的边长为3，求出即可；
（3）类比（1），连接，由于，所以可将绕点D逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，求和的面积差即可．
【详解】（1），如图2，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，，
为等边三角形．
（2）由（1）可知，绕点顺时针方向旋转，得到，
，
四边形的面积等边三角形的面积，
，，且，
，，
在四边形中，，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，
，
点共线，
，
则等边的高，
．
（3）如图3，连接，由于，
可将绕点D逆时针方向旋转，得到，
连接，延长，作，
，
绕点D逆时针方向旋转，得到，
四边形的面积等边三角形的面积三角形的面积，
，
且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
等边的高 ，
，
四边形的面积．大笔记本
小笔记本
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