广东省深圳市2024-2025学年北师大版八年级下册3月检测 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市2024-2025学年北师大版八年级下册3月检测 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了03， 下列计算，正确是， 如图，数轴上表示的解集是等内容，欢迎下载使用。
2025.03
本试卷分两部分，试卷共5页，满分100分，考试时间90分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名和考生号；用2B铅笔将对应的考生号码涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题共24分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1. 下列计算，正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A．，无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项计算错误，不合题意；
C．，故此选项计算正确，符合题意；
D．，故此选项计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘单项式运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 如图，数轴上表示的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式解集的确定法则解答即可．
本题考查了不等式解集的确定，理解小大大小中间找，实心圆含等号，空心圆无等号是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得表示的解集为．
故选A．
3. 用不等式的性质说明下图事实，正确的是（ ）

A. 若，那么B. 若，那么C. 若，那么D. 若，那么
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形及不等式的性质求解即可．
【详解】解：由第一个图得出：，
由第二个图得出：，
∴说明若，那么，
故选：A．
【点睛】题目主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
4. 如图，沿直角边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是（ ）

A. ≌B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、向右平移得到，则≌成立，故正确；
B、为直角三角形，则成立，故正确；
C、≌，则成立，故正确；
D、不一定成立，故错误．
故选D．
【点睛】本题考查了平移的性质，全等的性质，理解好平移前后的两个三角形全等是解题关键．
5. 如图①，一个容量为的杯子中装有的水，将5颗体积均为的玻璃球放入这个杯中，水面没有与杯口齐平，如图②．根据题意可列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据杯子中装有的水，将5颗体积均为的玻璃球放入这个杯中，水面没有与杯口齐平即小于列出一元一次不等式即可．
【详解】解：根据题意可知：，
故选：D
6. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都是锐角B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角D. 三个内角都不是钝角
【答案】C
【解析】
【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故选：C．
7. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 点是中点
C. 平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，由作法可得垂直平分，从而得出，，再根据三角形面积公式判断即可得出答案．
【详解】解：由作法可得：垂直平分，
，，
，
故选：D．
8. 如图，在四边形中，，，，，是对角线的中点，连接并延长交边于点．则的长为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质．过点作交的延长线于点，过点作于点，根据，，得出，推出的长，在中根据斜边上的中线等于等边的一半推出，再根据证明，得出，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点是斜边的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题共76分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 关于的不等式与的解集相同，则 ___________________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式解的情况求参数，先求出不等式的解集为，再根据解集相同即可得出答案．
【详解】解：解不等式得：，
关于的不等式与的解集相同，
，
故答案为：．
10. 如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 __________
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于E，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
11. 如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 _____________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的交点与不等式的解集、一次函数的性质，先求出点的坐标，再根据图象即可得出答案．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
，
由图象可得：关于的不等式的解集为，
故答案为：．
12. 小王准备用60元买手抓饼和冰激凌，已知一张手抓饼5元，一个冰激凌8元，他购买了5张手抓饼，则他最多还能买_______个冰激凌．
【答案】4
【解析】
【分析】设他还能买x个冰激凌，根据买冰激凌的钱+买手抓饼的钱要小于或等于60元，列不待式求解即可．
【详解】解：设他还能买x个冰激凌，根据题意，得
解得：，
∵x为整数，
∴他最多还能买4个冰激凌．
故答案：4．
【点睛】本题考查不等式的应用，理解题意，设恰当未知数，找出不等量关系，列出不等式是解题的关键．
13. 如图，已知在等腰三角形中，，，是边上的中线，点是上的点．当时，线段的长度为 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长交于，过点作于，由等腰三角形的性质可得，，求出为等腰直角三角形，得出，求出为等腰直角三角形得出，由角平分线的性质定理得出，结合，计算即可得解．
【详解】解：如图，延长交于，过点作于，
，
，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14. 下面是晓晓的一次作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．
（1）晓晓解不等式的过程，是从第 步开始出错的(只填序号)，具体原因是 ．
（2）晓晓由第②步得到第③步的依据是 ．
（3）请写出解该不等式正确的解答过程，并求出最小整数解．
【答案】（1）①，常数项没有乘以6．
（2）不等式性质1 （3）解答过程见详解，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照解不等式的步骤求解即可．
（1）按照解不等式的步骤求解即可．
（2）根据不等式的性质求解即可．
（3）根据解一元一次不等式的步骤求解并求出最小整数解即可．
【小问1详解】
解：晓晓解不等式的过程，是从第①步开始出错的，具体原因是去分母时，常数项没有乘以6．
故答案为：①，常数项没有乘以6．
【小问2详解】
解：晓晓由第②步得到第③步的依据是不等式的性质1，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
【小问3详解】
解：．
解：去分母，得：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得，
则最小整数解为：．
15. 解不等式组并在数轴上表示它的解集
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
16. 如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等．
【详解】解：小水塘的位置如下图所示：
17. 如图，是的角平分线，交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）过A作交于F，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边证明；
（2）证明，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴，
∴在中，，
代入，
∴．
18. 五一假期，两位老师计划带领若干学生去古镇参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费．
（1）设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式．
（2）若学生人数不超过10人，为了减少花销，他们应该如何选择旅行社？
【答案】（1）；
（2）当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．分类探讨选择花销较少的旅行社是解决本题的难点．
（1）甲旅行社所需费用两位老师的费用学生人数；乙旅行社所需费用总人数，把相关数值代入后化简即可；
（2）分别算出，，时对应的的值，即可根据人数判断出花销较少的旅行社．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
19. 【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知， ，其中，求证：．
证明：
，故．
【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”)
【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系．
【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式运算的应用．
（1）作差即可作出判断；
（2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断；
（3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，，分别求出，然后作差，最后根据即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案：；
（2）∵，
，
∴
∵a为正整数，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，，
根据题意可知：，，
，
∵，
∴，
∴
20. 【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形，
（1）【问题初探】证明：；
（2）【深入探究】若点不共线，，求的长度；
（3）【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出长度．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明；
（2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
（3）取的中点M，连接，证明为等边三角形，求出，再求出，得到，利用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴；
【小问3详解】
解：如图，取的中点M，连接，
∵和都是等边三角形，且和的边长分别为2和4，
∴，，
∴，
∵点共线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
解不等式．
解：去分母，得：，……①
去括号，得，……②
移项，得，……③
合并同类项，得，……④
两边都除以，得，……⑤