2024-2025学年吉林省长春十七中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春十七中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设{e1,e2}是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
2.已知向量a=(1,1x)，b=(2,x).若a//b，则实数x=( )
A. 1B. 2C. ±1D. ± 2
3.已知向量a，b满足(a−2b)⋅(a+b)=3，且|a|=2，|b|=1，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.已知|a|= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −aD. −b
5.为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点( )
A. 向左平移π5个单位长度B. 向右平移π5个单位长度
C. 向左平移π15个单位长度D. 向右平移π15个单位长度
6.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
7.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a,b),n=(csB,csA)，若m//n，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
8.设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，A=2C，则△ABC周长的取值范围为( )
A. (0,2+ 2)B. (0,3+ 3)
C. (2+ 2,3+ 3)D. (2+ 2,3+ 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法错误的是( )
A. 若a,b是共线的单位向量，则a=b
B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 若a≠b，则a,b不是共线向量
D. 若a//b，则一定存在实数λ，使得a=λb
10.已知函数f(x)=3sin(3x+π4)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期是2π3
B. 函数f(x)在区间[−π4,π4]上是增函数
C. 直线x=π12是函数f(x)图像的一条对称轴
D. 函数f(x)的图像可以由函数g(x)=3sin3x的图像向左平移π4个单位长度而得到
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. a=2 3，c=2，A=2π3，则b=4
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC定为直角三角形
D. 若B=π3,a=2且该三角形有两解，则b的取值范围是( 3,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,−2)，b=(−x,3)，若a⊥b，则x= ______．
13.已知a=(x,2x)，b=(−3x,2)，如果a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是______．
14.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a=2，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)若c= 6，A=45°，a=2，求C；
(2)若B=π6，b= 3，a=3，求c边．
16.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，AC⋅AB=−4，S△ABC=2 3，AC=2．
(1)求角A的大小；
(2)求BC的长．
18.(本小题17分)
已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=2cs2x+cs(2x−π3)−1．
(1)求函数y=f(x)的单调增区间；
(2)求方程f(x)= 32在x∈[0,π]上的解．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且向量m=(2sinA−2sinC,sinB)，n=(sinA+sinC,b− 2a)互相垂直．
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.ACD
10.AC
11.ACD
12.6
13.(−∞,−13)∪(−13,0)∪(43,+∞)
14. 3
15.
16.解：(1)∵(a+b)⊥b，|a|=5，|b|=4，
∴(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
∴5×4×cs〈a,b〉+16=0，
∴cs〈a,b〉=−45；
(2)由(1)知a⋅b=5×4×(−45)=−16，
∴(2a+b)2=4a2+b2+4a⋅b=4×25+16+4×(−16)=52，
∴|2a+b|=2 13．
17.
18.解：(1)函数f(x)=2cs2x+cs(2x−π3)−1=cs2x+cs(2x−π3)=cs2x+12cs2x+ 32sin2x= 3sin(2x+π3)；
令−π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得：−5π12+kπ≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)．
(2)令 3sin(2x+π3)= 32，整理得sin(2x+π3)=12，
由于x∈[0,π]，故2x+π3∈[π3,7π3]，
所以2x+π3=5π6或13π6，解得x=π4或11π12．
19.解：(1)向量m=(2sinA−2sinC,sinB)，n=(sinA+sinC,b− 2a)互相垂直，
所以m⋅n=0，即(2sinA−2sinC)(sinA+sinC)+(b− 2a)sinB=0，
因为△ABC外接圆半径为R=1，
所以(2RsinA−2RsinC)(sinA+sinC)+(b− 2a)sinB=0，
由正弦定理得，(a−c)(a+c)+(b− 2a)b=0，即a2+b2−c2= 2ab，
由余弦定理得，csC=a2+b2−c22ab= 22，
又因为C∈(0,π)，所以C=π4；
(2)由正弦定理得，c=2RsinC=2sinπ4= 2，
由余弦定理得，a2+b2−2= 2ab，
因为a2+b2≥2ab，所以2ab−2≤ 2ab，解得ab≤2+ 2，当且仅当a=b时取“=”，
所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC≤12×(2+ 2)× 22= 2+12，
即△ABC面积的最大值为 2+12．