江西省八所重点中学2025年高考数学联考试卷（4月份）（含解析）

这是一份江西省八所重点中学2025年高考数学联考试卷（4月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=1+i1−i，则z⋅z−=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|ln(x−2)0,b>0)的渐近线与圆C2：(x−2)2+y2=3有公共点，则C1的离心率的取值范围为( )
A. (0,2 33]B. (1,2 33]C. (0,2]D. (1,2]
6.已知α,β∈(0,π2)，若sin(α+β)=2sin(α−β)，当tan(α−β)取得最大值时，tanα=( )
A. 3B. 33C. 22D. 2
7.已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an−1an+3，则下列说法正确的是( )
A. a10=45B. an=2−n
C. {an}有最大值D. {an}不是单调数列
8.已知a∈(0,1e)，若(lnxx−a)(x+bx−c)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，则acb2的最大值为( )
A. eB. 12eC. 1e2D. e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在江西省重点中学协作体2025届高三第一次联考中，某校高三年级参加了联考，该校有600个学生数学及格(90分及以上)，从数学及格的学生中随机抽取100个学生的数学成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. a=0.024
B. 估计该校有96名学生数学成绩不低于120分
C. 用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为0.2
D. 成绩在[110,120)和[120,130)内学生的男女比例分别为7：3和3：2，从成绩在[110,130)的学生中随机抽1学生，该生是女生的概率为13
10.已知A、B两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)，M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA−kMB=a(a为定值)，设动点M的轨迹为C.则( )
A. 轨迹C关于原点对称B. 轨迹C关于直线对称
C. 当a=0时，轨迹C为一条直线D. 当a>0时，轨迹C存在最高点
11.如图，棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1内及其边界上运动，点E在棱AD上、且AE= 3，则下列说法正确的是( )
A. 若BP=λBC+μBB1，且λ+μ=1，则三棱锥P−A1C1D体积为定值
B. 若A1P⊥C1D，则动点P所围成的图形的面积为9 2
C. 若sin∠PAB=2sin∠PBA，则PC1的最小值为3
D. 若动点P在正方形ABCD内(包含边界)，异面直线B1P与A1E所成角为π6，则P的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A、B相互独立，若P(A)=34,P(B)=23，则P(A∩B)= ______．
13.过抛物线y2=4x上一动点P作圆C：(x−3)2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______．
14.已知A(−1,0)，B(3,0)，P是圆O：x2+y2=36上的一个动点，则sin∠APB的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csinB= 3bcsC．
(1)求角C；
(2)若a+b=5，c= 7，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AD且AB⊥AD，沿BD将△BCD折起，使点C到达点P．

(1)求证：PA⊥BD；
(2)当三棱锥P−ABD体积最大时，求平面APD与平面BPD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2=4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ= 32PQ，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(3,0)的动直线l交C于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
18.(本小题17分)
为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛.从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为13，上两级台阶的概率为23，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为pn(n∈N*).
(1)求p2，p3的值；
(2)设随机变量X表示小明爬3步上的台阶总数，求X的分布列及数学期望；
(3)求pn．
19.(本小题17分)
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号[x]，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[l]=1，[2.3}=2,[−1.5]=−2．
(1)分别求函数y=[sinx]和y=[x]的值域；
(2)若f(x)=min{xex,1(x+1)2}，求函数y=[f(x)]的值；
(3)若数列{an}满足：a1=4，an+1= an+22− an+1(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，求[Sn]的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i，
∴z−=−i，
∴z⋅z−=−i2=1．
故选：A．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵A={x|−1≤x≤3}，B={x|00，且x1+x2=c>0，x1x2=b>0，
由lnx1x1=a，lnx2x2=a，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，
根据对数运算法则ln(x1x2)=lnx1+lnx2，所以ln(x1x2)=a(x1+x2)，即lnb=ac>0，
令g(b)=lnbb2(b>0)，对g(b)求导，g′(b)=1b⋅b2−2blnbb4=1−2lnbb3，
令g′(b)=0，即1−2lnb=0，解得b= e，
当00，g(b)递增；当b> e时，g′(b)0时，轨迹为y=−a2x2+a2(x≠±1)，开口向下，有最高点，故D正确．
故选：BD．
设M(x,y)，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得M的轨迹为挖去两个点的关于y轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误．
本题考查轨迹方程问题，属于简单题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对A，因为动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1内及其边界上，且BP=λBC+μBB1，λ+μ=1，
则P的轨迹为线段B1C由于B1C/​/A1D，A1D⊂平面A1C1D，
所以B1C//A1C1D，所以三棱锥P−A1C1D的体积为定值，故A正确；
对B，易知C1D⊥平面A1BCD1动点P在正方体．ABCD−A1B1C1D1内及其边界上，
且A1P⊥C1D，所以动点P所围成的图形是矩形A1BCD1，
则面积为3×3 2=9 2，故B正确；
对C，设△PAB边AB上的高为h，则sin∠PAB=2sin∠PBA，
由正弦定理可得PAsin∠PBA=PBsin∠PAB，
所以PAPB=sin∠PBAsin∠PAB=12，故PB=2PA，
以A为点，AB．AD，AA1，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C1(3,3,3)，设P(x,y,z)，x，y，z∈[0,3]，
则PB= (x−3)2+y2+z2，PA= x2+y2+z2，
又因为PB=2PA，整理得：(x+1)2+y2+z2=2，所以空间动点P的轨迹是以O(−1,0,0)为球心，
2为半径且位于正方体内的部分球体，又因为|OC1|= 42+32+32= 34，
所以|PC1|min=|OC1|−R= 34−2，故C错误；
对D，在棱BC上取BF= 3，则B1F//A1E，因为异面直线B1P与A1E所成角为π6，
则直线B1P与B1F所成角为π6，故空间动点P的轨迹是以B1F为旋转轴，B1P为母线的共顶点B1的双圆锥，
直线B1B是圆锥的一条母线，又动点P在底面ABCD内，
故动点P的轨迹在平面ABCD与双圆锥的截痕(椭圆)上，
椭圆以BG为长轴，球O是底面ABCD与圆锥封闭几何体的内切球，
球O与底面ABCD的切点F1为椭圆靠近顶点B的焦点．
如图2a=BG=3 3，即a=3 32,2|BF1|=BG+BB1−B1G′，
即2(a−c)=3 3+3−6，则c=32，所以椭圆的离心率e=ca= 33，故D正确．
故选：ABD．
对于A，由题意可得的轨迹为线段，即可判断；对于B，由题意可得动点所围成的图形是矩形，即可判断；对于C，由正弦定理可得PB=2PA，利用空间坐标运算可得点P的轨迹是以O(−1,0,0)为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用PC1|min=|OC1|−R，求解后即可判断；对于D，由题意可得点的轨迹是以为旋转轴，为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，从而得点的轨迹在平面与双圆锥的截痕(椭圆)上，求出此椭圆的离心率即可判断．
本题考查棱锥的体积，属于中档题．
12.【答案】12
【解析】解：由题意，所以P(A⋂B)=P(A)P(B)=34×23=12．
故答案为：12．
根据相互独立事件概率公式求得正确答案．
本题主要考查了相互独立事件概率公式，属于基础题．
13.【答案】4
【解析】解：由题意知C：(x−3)2+y2=4的圆心为(3,0)，半径为2，
如图，PA⊥AC，PB⊥BC，
则S四边形PACB=2×12|PA|⋅|CA|=2|PA|，
而|PA|= |PC|2−|CA|2= |PC|2−4，当|PC|最小时，|PA|最小，则S四边形PACB=2|PA|最小，
由于P在抛物线y2=4x上，
设P(t2,2t)，
则|PC|= (t2−3)2+(2t)2= t4−2t2+9= (t2−1)2+8，
当t2=1时，(t2−1)2+8取最小值8，即|PC|取到最小值2 2，
则|PA|= |PC|2−4取最小值2，
故S四边形PACB=2|PA|的最小值为4．
故答案为：4．
由题意可确定当|PC|最小时，则|PA|最小，则S四边形PACB=2|PA|最小，继而设P(t2,2t)表示出|PC|= (t2−1)2+8，结合二次函数性质求最小值，即可求得答案．
本题考查抛物线方程的应用，属于中档题．
14.【答案】813
【解析】解：设△PAB外接圆半径为R，由正弦定理，|AB|sin∠APB=2R⇒|AB|2R=sin∠APB，
当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，sin∠APB最大，
设△PAB外接圆圆心为M，由题可得其在AB中垂线上，可设其坐标为：(1,x)，
则R=|MA|= 4+x2，|MO|= 1+x2，又圆M与圆O相内切，则圆心距等于半径之差，
则 1+x2=6− 4+x2，等式两边平方并化简后可得： 4+x2=134，即△PAB外接圆半径为R的最小值为134，
此时sin∠APB=|AB|2R=4132=813 则此时sin∠APB最大，最大值为813．
故答案为：813．
设△PAB外接圆半径为R，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，sin∠APB最大．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】π3； 3 32．
【解析】解：(1)因为csinB= 3bcsC，
所以由正弦定理得：sinCsinB= 3sinBcsC，
又因为sinB≠0，所以sinC= 3csC，即tanC= 3，
又因为C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC，
即7=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，
因为a+b=5，所以7=25−3ab，所以ab=6，
所以SΔABC=12absinC=3 32．
(1)利用正弦定理化简已知条件，求得tanC= 3，由此求得C；
(2)由余弦定理即可求得ab=6，结合(1)中所求角度，由面积公式即可求得结果．
本题考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】证明见解析； 217．
【解析】解：(1)证明：取BD中点E，连接AE，PE，
由AB=AD，得AE⊥BD，由等边△ABC，得PE⊥BD，
而AE，PE⊂平面PAE，AE∩PE=E，
则BD⊥平面PAE，又PA⊂平面PDE，
所以PA⊥BD．
(2)依题意，△BCD的面积为 34⋅BC2= 3，
三棱锥P−ABD体积VP−ABD=VA−PBD，
则当且仅当点A到平面PBD的距离最大时，三棱锥P−ABD体积最大，
在△ABD中，AB⊥AD，AE=BD=1，
因此当AE⊥平面PBD时，三棱锥P−ABD体积最大，
在平面PBD内过E作EO⊥PB于O，连接AO，
由AE⊥平面PBD，PB⊂平面PBD，
得AE⊥PB，而AE∩EO=E，AE，EO⊂平面AOE，
于是PB⊥平面AOE，又AO⊂平面AOE，
则AO⊥PB，
∠AOE是二面角A−PB−E的平面角，
在Rt△PED中，EO=PE⋅EDPD= 32，
在Rt△AOE中，AO= EO2+AE2= 72，
cs∠AOE=EOAO= 3 7= 217，
所以平面APD与平面BPD夹角的余弦值为 217．
(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证；
(2)由(1)中信息，确定体积最大的条件，再作出二面角A−PB−E的平面角，利用几何法求解．
本题考查线线垂直的判定，以及二面角的计算，属于中档题．
17.【答案】x24+y23=1； 3．
【解析】解：(1)设M(x,y)，P(x0,y0)，
则x02+y02=4，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则Q(x0,0)，
因为MQ= 32PQ，则(x0−x,−y)= 32(0,−y0)，
则y= 32y0x=x0，整理得y0=2 33yx0=x，代入x02+y02=4中得x2+43y2=4，
整理得x24+y23=1，
所以曲线C的方程为x24+y23=1．
(2)依题意知道，直线AB不垂直于y轴，
则设其方程为x=my+3，
由消去x，得x=my+3x24+y23=1，
并整理得(3m2+4)y2+18my+15=0，
Δ=182m2−60(3m2+4)=48(3m2−5)>0，
解得m2>53，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=−18m3m2+4，y1y2=153m2+4，
则S△AOB=12|ON||y1−y2|=32 (y1+y2)2−4y1y2=6 3 3m2−53m2+4，
令t= 3m2−5，则t>0，且3m2=t2+5,S△AOB=6 3tt2+9=6 3t+9t≤6 32 t⋅9t= 3，
当且仅当t=9t，即t=3时取等号，
所以△AOB面积的最大值为 3．
(1)设M(x,y)，P(x0,y0)，借助MQ= 32PQ构造方程组，求出y0=2 33yx0=x，代入x02+y02=4，整理计算即可；
(2)依题意，知道直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=my+3，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得S△AOB=6 3 3m2−53m2+4，令t= 3m2−5，变形，结合基本不等式计算即可．
本题考查椭圆、圆的方程的应用，属于中档题．
18.【答案】p2=79,p3=1327；
分布列见解析，期望E(X)=5；
pn=35−415⋅(−23)n−1．
【解析】解：(1)易知：p1=13，p2=13×13+23=79，p3=(13)3+C21×13×23=1327；
(2)由题意知，X的取值为3，4，5，6，
所以P(X=3)=(13)3=127；
P(X=4)=C31(23)(13)2=29；
P(X=5)=C32(23)2×13=49；
P(X=6)=(23)3=827，
所以X的分布列为：
所以E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；
(3)由(1)知：p1=13，p2=79，且当n≥3时，pn=13pn−1+23pn−2，
所以pn−pn−1=−23(pn−1−pn−2)，
所以数列{pn−pn−1}是以p2−p1=49为首项，公比为−23的等比数列，
所以(p2−p1)+(p3−p2)+⋯+(pn−pn−1)=49(1−(−23)n−1)1+23=415[1−(−23)n−1]，
得pn=35−415⋅(−23)n−1(n≥3)，经验证n=1，2时也满足通项，
所以pn=35−415⋅(−23)n−1．
(1)根据全概率公式以及乘法公式求解；
(2)根据三步上台阶时，是每一步是上一个台阶还是两个台阶分类讨论即可；
(3)结合前两问的结论，以及递推数列、等比数列的知识求解．
本题考查离散型随机变量分布列、期望的求法，数列递推公式的应用，属于中档题．
19.【答案】y=[sinx]∈{−1,0,1}，y=x的值域为整数集Z；
y=[f(x)]=−1x0时，x>−1；当φ′(x)0时，0