山东省聊城市莘县2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份山东省聊城市莘县2025年中考一模数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，数轴上表示的点是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】∵，
∴数轴上表示的点是点C，
故选：C．
2. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可知：几何体的主视图为：
故选A．
4. 据《央视新闻》2025年1月7日报道：截至2024年末，我国境内有效发明专利量达到475.6万件，继2024年成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，又同比增长．将475.6万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将475.6万用科学记数法表示应为．
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.，故原选项计算错误，不符合题意；
B.，故原选项计算错误，不符合题意；
C.，故原选项计算正确，符合题意；
D.，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，
故选：D．
7. 某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，设甲车的速度为，
根据题意可列方程：，
故选：D．
8. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的弦，半径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
9. 如图，在中，，相交于点O，，．过点A作交于点E，记长为x，长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式的值是（ ）
A. 12B. 16C. 8D. 6
【答案】C
【解析】如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，即解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是，
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④，（的实数）． 其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】由图象可得，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴，
∴，，，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
即，
当时，，即，
当时，，
∴，
∵抛物线与y轴交点C纵坐标在之间，
∴，
∴，即，故②正确；
由图象可得，当时，，故③正确；
当时，函数有最小值，为，
故，即，（的实数），故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共个，
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式： = ______________
【答案】
【解析】原式=
=．
故答案为．
12. 不等式组的整数解是___________．
【答案】，0，1
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，，，
故答案为：，，1．
13. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为_________．
【答案】
【解析】，
，而，
，
，
故答案为：．
14. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_________．
【答案】
【解析】由题意得：，，
∴山水画所在纸面的面积为，
故答案为：.
15. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”． 将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
若“和点”按上述规则连续平移2025次后，到达点，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】∵“和点”，
∴，，
∴向右平移得到，
∵，，
∴向上平移得到，
∵，，
∴向左平移得到，
∵，，
∴向上平移得到，
∵，，
∴向左平移得到，
∵，，
∴向上平移得到，
…
由此可得，点先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
∵“和点”按上述规则连续平移2025次后，到达点，
∴“和点”向右平移了1次，向上、向左分别平移了次，
∴点的坐标为，即，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：；
（2）先化简分式，然后、0、1、2中选择一个你认为合适的a的值，代入求值．
解：（1）
；
（2）
，
∵，，
∴a的值不能能取，0，1，只能取2，
当时，原式．
17. 【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分，
∴八年级学生成绩的中位数，
∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多，
∴七年级的众数，
由题意可得：，
∴；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有（人）．
18. （1）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积．
（2）同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值．
解：（1）∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
由作图可得，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
由作图可得，
平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. 【研学实践】
“五一”节期间，许多露营爱好者在我市某研学基地露营，为了遮阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，．
数据应用】
（1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到）；
（2）下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
解：（1）由对称的性质可得，
，，
在中，，，
∴，
∴；
（2）如图，作于，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
当时，，
当时，，
∴下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点E下降的高度为．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将代入反比例函数可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数得，
∴，
∴，
将，代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）由函数图象可得：不等式的解集为或；
（3）设，
∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形
∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或，
解得：或，
即或，
当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：，
解得：，
即，
综上所述，点的坐标为或或．
21. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为9，，求的值．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的直径为9，为的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧．
【探究与证明】
如图1，若点M与点A重合，与相交于点P
（1）若，求长；
（2）求证：；
【应用拓展】
（3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由．
（1）解：∵，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，点M与点A重合，
∴，，
∴；
（2）证明：如图，作交延长线于点，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，作于，
∵为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合，
∴，，
设，则，
由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意可得，即四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
23. 已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值．
解：（1）∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度，
∴平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为，
∵平移后，恰好与的图象有交点，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴m的取值范围为；
（3）∵，
∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，
∴当，即时，此时在上，随着的增大而减小，
当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，当时，
二次函数的最大值为或，
最小值为，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去）
当时，此时在上，随着的增大而增大，
当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为或．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．
余0 余1 余2
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90