2022年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为亿亿次秒，这个数据以亿次秒为单位用科学记数法可以表示为

A. 亿次秒 B. 亿次秒
C. 亿次秒 D. 亿次秒

4. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 下列说法正确的是

A. 人中至少有人生日相同
B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C. 天气预报说明天的降水概率为，则明天一定会下雨
D. 某种彩票中奖的概率是，则买张彩票一定有张中奖

6. 下列各式不成立的是

A.  B.
C.  D.

7. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

8. 如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，如果，那么的度数为   

A.
B.
C.
D.

9. 在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，则点的对应点的坐标为

A.  B. 或
C.  D. 或

10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是   

A.  B.  C. 或 D. 不存在

11. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，菱形的边长是厘米，，动点以厘米每秒的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以厘米秒的速度自点出发沿折线运动至点停止．若点、同时出发运动了秒，记的面积为厘米，下面图象中能表示与之间的函数关系的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 计算：______．
14. 用一块圆心角为的扇形铁皮，做一个高为的圆锥形工件接缝忽略不计，那么这个扇形铁皮的半径是______．
15. 某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启秒后关闭，紧接着黄灯开启秒后关闭，再紧接着绿灯开启秒，按此规律选一下去．如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______．
16. 如图是山东舰航徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图如图，则该圆锥的母线长为______．

17. 如图，一块试验田的形状是三角形设其为，管理员从边上的一点出发，沿的方向走了一圈回到处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过______

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

18. 解不等式组，并写出它的正整数解．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中满足．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分）

20. 如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
    求证：．
    若正方形边长是，，求的长．
     

21. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点．
    求反比例函数的解析式；
    若点在轴正半轴上，且与点，构成以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
     

22. 八年级班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
    
    请根据图中信息解决下列问题：
    共有______名同学参与问卷调查；
    补全条形统计图和扇形统计图；
    全校共有学生人，请估计该校学生一个月阅读本课外书的人数约为多少．
    
    
    
    
    
    
     
23. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍，两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．
    求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
    已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是元和元，现有个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过元，那么甲至少加工了多少天？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，，点是的中点，以为半径作．
    求证：是的切线；
    若，求的长．
    
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．
    求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
    如图，直线与抛物线交于，两点，直线，分别交轴负半轴于，两点，求的值；
    如图，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：亿亿次秒亿次秒．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
过直角顶点作直线平行于直角三角板的斜边，利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】
解：过直角顶点作直线平行于直角三角板的斜边，

可得：，，
故的度数是：．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】解：、人中至少有人生日相同，故A符合题意；
B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故B不符合题意；
C、天气预报说明天的降水概率为，则明天下雨的可能性是，故C不符合题意；
D、某种彩票中奖的概率是，则买张彩票不一定有张中奖，故D不符合题意；
故选：．
根据概率公式，概率的意义，逐一判断即可．
本题考查了概率公式，概率的意义，熟练掌握概率公式，概率的意义是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，选项成立，不符合题意；
，选项成立，不符合题意；
，选项不成立，符合题意；
，选项成立，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】
解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是、，
所以全班名同学的成绩的中位数是：分；
出现了次，出现的次数最多，则众数是分，
所以这些成绩的中位数和众数分别是分，分．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理得出，求出，再由圆周角定理得出即可，
【解答】
解：连接，如图所示：

是半圆的直径，
，
，
，
，
，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质计算即可．
【解答】

解：点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍，
则点的对应点的坐标为或，即或．
故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，属于中档题．
解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；牢记两根之和等于、两根之积等于．
先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，

解得：且．
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
，
故选：．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：当时，；
当时，；
只有选项D的图形符合．
故选：．
应根据和两种情况进行讨论．把当作已知数值，就可以求出，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设这个扇形铁皮的半径为，
圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
因为，解得．
所以这个扇形铁皮的半径为．
故答案为．
设这个扇形铁皮的半径为，圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理得到，最后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】
 

【解析】解：红灯亮秒，黄灯亮秒，绿灯亮秒，
红灯亮，
故答案为：
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】
 

【解析】解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长，
，
在中，，
所以该圆锥的母线长为．
故答案为：．
由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线的长．
本题考查圆锥的计算及弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．
 

17.【答案】
 

【解析】解：管理员走过一圈正好是三角形的外角和，
从出发到回到原处在途中身体转过．
故答案为：．
根据题意，管理员转过的角度正好等于三角形的外角和，然后根据三角形的外角和等于进行解答．
本题主要考查了三角形的外角和等于，判断出走过一圈转过的度数等于三角形的外角和是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
不等式的解集为：．
不等式的解集为：．
不等式组的解集为：．
不等式组的的正整数解为：，．
 

【解析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式，
由，得到，
则原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，
由得：≌，
，
，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得：．
 

【解析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明≌是解本题的关键．
根据证明≌，可得结论；
根据得：≌，则，最后利用勾股定理可得的长．
 

21.【答案】解：点在一次函数的图象上，
把点坐标代入，得，
点的坐标是，
设反比例函数的解析式为，
把点的坐标代入得，，
解得，
反比例函数的解析式为；

在直线中，令，则，
，
由知，，
，
当时，，
，
，
当时，点在的垂直平分线，
，
即满足条件的点的坐标为或
 

【解析】先确定出点坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
分两种情况，利用等腰三角形的性质，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：参与问卷调查的学生人数为人，
故答案为：；

读本的女生人数为人，
读本人数所占百分比为，
补全图形如下：


估计该校学生一个月阅读本课外书的人数约为人．
由读书本的人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以读本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读本的人数除以总人数可得对应百分比；
总人数乘以样本中读本人数所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：设乙每天加工个零件，则甲每天加工个零件，
由题意得：，
解得，
，
经检验，是分式方程的解且符合实际意义．
答：甲每天加工个零件，乙每天加工个零件．
设甲加工了天，乙加工了天，则由题意得
，
由得
将代入得，
解得，
当时，，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了天．
 

【解析】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
设乙每天加工个零件，则甲每天加工个零件，根据甲比乙少用天，列分式方程求解；
设甲加工了天，乙加工了天，根据个零件，列方程；根据总加工费不超过元，列不等式，综合考虑求解即可．
 

24.【答案】证明：，点是的中点，
，
为的半径，
是的切线；
是等腰直角三角形，点是的中点，
，，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定定理即可证得结论；
根据直角三角形斜边中线的性质求得，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形的性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
设，
  解得：
抛物线解析式为
顶点的坐标为



设抛物线上的点，
直线与抛物线交于，两点
  整理得：

设直线解析式为，即

得： 
得：  
得：
点与不重合，即
即
同理可得：


如图，过点作于点，以点为圆心、为半径作圆

点在上
有且只有一个点在上又在直线上
与直线相切于点

由得：，，
，，即

为等腰直角三角形


设
，

解得：，舍去
点坐标为
 

【解析】由可设，，代入抛物线解析式即得到关于、的二元方程，解方程求出即求得抛物线解析式，配方即得到顶点的坐标．
由求得可知点，设，，把直线与抛物线解析式联立方程组，消去后整理得关于的一元二次方程，、即为方程的解，根据韦达定理求得设直线解析式为，把点、坐标代入求出的值即为点纵坐标，进而得到用表示的的值，同理可求得用表示的的值，相加再把代入即求得的值．
以点为圆心，长为半径的，由于满足即点在上且点在直线上的点有且只有一个，即与直线只有一个公共点，所以直线与相切于点由得点、坐标可知直线与夹角为，为等腰直角三角形，设点纵坐标为，用表示和的长并列得方程即可求的值．由于点在线段上，故的值为负数，舍去正数解．
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，圆的定义，切线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理．第题的解题关键是设点、的坐标，求直线、解析式，即得到、的表示，联立直线与抛物线解析式得到点、横坐标的关系并代入求，计算量较大．第题的解题关键是由联想到圆，再由有且只有一个满足条件的联想到相切，体现数形结合的过程．