2024年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级的学生投稿情况进行调查．等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数与−2的相反数相等的是( )
A. −(+2)B. (12)−1C. 3−8D. −|−2|
2.如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.若苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084=8.4×10n，则n为( )
A. −5B. −6C. 5D. 6
4.下列运算正确的是( )
A. (−2a2)3=−6a6B. −7a3b2÷2ab=−72ab2
C. (a+3b)2=a2+9b2D. (−2a+b)(−2a−b)=4a2−b2
5.一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=60°，点A在边EF上，点D在边BC上，ACE与DF相交于点G，且BC/​/EF，则∠DGC度数是( )
A. 100°B. 105°C. 110°D. 125°
6.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A. −3a>−3bB. |a|<|b|C. a+b>0D. ba>0
7.如果a2−2a−1=0，那么代数式(4a−a)⋅a2a+2的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
8.如图，△ABC是一个等腰直角三角形纸板，∠ABC=90°，在此三角形内部作一个正方形DEFG，使DE在AC边上，点F，G分别在BC，AB边上.将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
A. 12B. 13C. 49D. 59
9.如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，连接EF，若直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°，②如果AB=2，那么BM= 7，③BC= 3CM，④S△ADM=12S△ABM；其中正确结论的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
10.关于二次函数y=x2−2mx−3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤2时，y随x的增大而减小，则m=2；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=−1；
④如果当x=1时的函数值与x=2021时的函数值相等，则当x=2022时的函数值为−3．
其中正确的说法有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知函数y= x+2x−3，则x满足的条件是______．
12.若菱形的两条对角线长是方程x2−7x+12=0的两个根，则该菱形的周长等于______．
13.若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+3，会产生增根，则m的值为______．
14.如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(0,7)，点B的坐标是(3,7)，将△AOB向右平移到△CED的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，DF=34EF，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和点F，则k的值是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5⋯称为正方形的“渐开线”，则点A2024的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)−12024+(12)−2+3tan30°−(π−2024)0+| 3−2|；
(2)解不等式组x−1218.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠BAE：∠EAD=2：3，求∠AOE的度数．
19.(本小题8分)
某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
【数据的描述与分析】
(1)求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数分布直方图．

(2)根据频数分布表分别计算有关统计量：
直接写出表格中m、n的值，并求出x−．
【数据的应用与评价】
(3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
20.(本小题8分)
2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022−2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41 )．
21.(本小题8分)
“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
(1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍.A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题8分)
石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，点D是⊙O上的一点，连接CD并延长CD与AB的延长线交于点E，连接DB，已知CO//DB．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC=2，tanE=12，求⊙O的半径长．
23.(本小题12分)
若直线y=x−5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C(−1,0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF/​/y轴交直线AB于点F，求线段PF最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y′，Q是新抛物线y′与x轴的交点(靠近y轴)，N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
24.(本小题12分)
综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．

(1)探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
(3)延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，分别取AB，BC的中点D，E.作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE.当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2，
A、−(+2)=−2，故A不符合题意；
B、(12)−1=2，故B符合题意；
C、3−8=−2，故C不符合题意；
D、−|−2|=−2，故D不符合题意．
故选：B．
由立方根的定义，负整式指数幂公式，相反数的定义，绝对值的意义，即可判断．
本题考查立方根，负整式指数幂，相反数，绝对值，掌握以上知识点是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、俯视图是一个矩形，故不符合题意；
B、俯视图是一个矩形，故不符合题意；
C、俯视图是一个大矩形，里面有一个小矩形，故不符合题意；
D、俯视图是两个矩形，故符合题意；
故选：D．
由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．
本题考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．
3.【答案】B
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6，
则n为−6．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：(−2a2)3=−8a6，故选项A错误，不符合题意；
−7a3b2÷2ab=−72a2b，故选项B错误，不符合题意；
(a+3b)2=a2+6ab+9b2，故选项C错误，不符合题意；
(−2a+b)(−2a−b)=4a2−b2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据积的乘方可以判断A；根据单项式除以单项式的方法可以判断B；根据完全平方公式可以判断C；根据平方差公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠F=90°−∠E=30°，
∵EF/​/BC，
∴∠GDC=∠F=30°，
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°，
∴∠DGC=180°−∠C−∠GDC=105°．
故选：B．
由直角三角形的性质得到∠F=30°，∠C=45°，由平行线的性质得到∠GDC=∠F=30°，由三角形内角和定理得到∠DGC=180°−∠C−∠GDC=105°．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质得到∠GDC=∠F=30°．
6.【答案】A
【解析】解：根据图示，可得−2∵−2∴a∴−3a>−3b，
∴选项A符合题意；
∵−2∴1<|a|<2，0<|b|<1，
∴|a|>|b|，
∴选项B不符合题意；
∵−2∴a+b<0，
∴选项C不符合题意；
∵a<0，b>0，
∴ba<0，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
根据图示，可得−2此题主要考查了实数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
7.【答案】B
【解析】解：(4a−a)⋅a2a+2
=4−a2a⋅a2a+2
=(2+a)(2−a)a⋅a2a+2
=a(2−a)
=2a−a2，
∵a2−2a−1=0，
∴2a−a2=−1，
∴原式=−1，
故选：B．
先化简所求的式子，再根据a2−2a−1=0，可以得到2a−a2=−1，然后代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是一个等腰直角三角形，∠ABC=90°，设AB=BC=x，
∴△ABC的面积为12x2，AC= 2x，
∵四边形DEFG为正方形，∠A=∠C=1=45°，
∴AD=DG=DE=EC=EF=13AC= 23x，
∴阴影区域的面积为( 23x)2=29x2，
∴飞镖落在阴影区域的概率为29x212x2=49．
故选：C．
利用阴影的面积除以△ABC的面积即可．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
9.【答案】B
【解析】解：连接AC，如图，
由作法得AM垂直平分CD，
∴AC=AD，CM=DM，AM⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AB/​/CD，
∴AB=AC=BC=CD=AD，
∴△ABC和△ADC都为等边三角形，
∴∠ABC=60°，所以①正确；
∵AB=2，
∴AD=CD=2，DM=1，
在Rt△ADM中，AM= AD2−DM2= 22−12= 3，
∵AM⊥CD，AB/​/CD，
∴AM⊥AB，
∴∠BAM=90°，
∴BM= AB2+AM2= 22+( 3)2= 7，所以②正确；
∵BC=2，CM=1，
∴BC=2CM，所以③错误；
∵S△ADM=12AM⋅DM，S△ABM=12AM⋅AB，
而DM=12AB，
∴S△ADM=12S△ABM，所以④正确．
故选：B．
连接AC，如图，先利用基本作图可判断AM垂直平分CD，则根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，CM=DM，AM⊥CD，再利用菱形的性质得到AD=AB=BC=CD，AB/​/CD，则可判断△ABC和△ADC都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在Rt△ADM中计算出AM= 3，接着在Rt△BAM中计算出BM，从而可对②进行判断；利用BC=2，CM=1可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断．
本题考查了作图−基本作图：从作图过程得到AM垂直平分CD是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．
10.【答案】B
【解析】解：①∵Δ=(−2m)2−4×1×(−3)=4m2+12>0，
∴二次函数y=x2−2mx−3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；
②∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴−−2m2=m≥2，说法②错误；
③∵二次函数y=x2−2mx−3的图象向左平移3个单位后过原点，
∴点(3,0)在二次函数y=x2−2mx−3的图象上，
∴9−6m−3=0，
∴m=1，说法③错误；
④∵当x=1时的函数值与x=2021时的函数值相等，
∴二次函数y=x2−2mx−3的图象的对称轴为直线x=1009．
∵当x=0时，y=x2−2mx−3=−3，
∴当x=2022时，y=x2−2mx−3的函数值为−3，说法④正确．
综上所述：正确的说法有①④．
故选：B．
①由根的判别式Δ=4m2+12>0，可得出二次函数y=x2−2mx−3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；
②由当x≤2时，y随x的增大而减小，可得出二次函数图象的对称轴大于等于2，由此可得出m≥2，说法②错误；
③由平移后的二次函数图象过原点可得出点(3,0)在二次函数y=x2−2mx−3的图象上，再利用待定系数法可求出m=1，说法③错误；
④根据二次函数的对称性结合当x=0时y=−3，可得出当x=2022时的函数值为−3，说法④正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点，利用二次函数的性质逐一分析四个说法的正误是解题的关键．
11.【答案】x≥−2且x≠3
【解析】解：∵函数y= x+2x−3，
∴x+2≥0，且x−3≠0，
∴x≥−2且x≠3．
故答案为：x≥−2且x≠3．
本题考查了求函数的自变形及分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据分式及二次根式有意义的条件分析求解即可．
12.【答案】10
【解析】解：x2−7x+12=0
(x−3)(x−4)=0
∴x=3或x=4，
∵菱形的两条对角线长是方程x2−7x+12=0的两个根，
∴菱形的两条对角线长为3，4，
∴菱形的边长为： (32)2+(42)2=2.5，
∴菱形的周长为：4×2.5=10，
故答案为：10．
根据菱形的两条对角线长是方程x2−7x+12=0的两个根，可以求得菱形的两条对角线的长，从而可以得到菱形的边长，进而可以求得菱形的周长．
本题考查解一元二次方程−因式分解法、菱形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13.【答案】−4
【解析】解：去分母，得：2(x+2)(x+3)+mx(x+3)=3(x2−4)，
由分式方程有增根，得到x2−4=0或x+3=0，即x1=−2，x2=2，x3=−3，
把x1=−2代入整式方程，可得：2×(−2+2)×(−2+3)−2m(−2+3)=3×(4−4)，解得m=0，
当m=0时，2x−2=3x+3，方程的解为x=12，没有产生增根，∴m=0不符合题意；
把x1=2代入整式方程，可得：2×(2+2)×(2+3)+2m(2+3)=3×(4−4)，解得m=−4；
把x1=−3代入整式方程，可得：2×(−3+2)×(−3+3)−3m(−3+3)=3×(9−4)，m无解．
综上，可得若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+3，会产生增根，则m的值为−4．
故答案为：−4．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x2−4=0或x+3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】6π
【解析】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：(5−2)×180°=540°，
则五个阴影部分的面积之和540π×22360=6π．
故答案为：6π．
根据五边形的内角和公式，可得出圆心角之和等于五边形的内角和(5−2)×180°=540°，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
15.【答案】16
【解析】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC=OE=BD，AB=CD=EQ=3，DQ=AO=7，
设AC=OE=BD=a，
∴四边形ACEO的面积为7a，
∵FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG//DQ，
∴△EDQ～△EFG，
∵DF=34EF，
∴EF=47DE，
∴FG=47DQ=4，EG=47EQ=127，则OG=OE+EG=a+127，
∴四边形HFGO的面积为4(a+127)，
∴k=4(a+127)=7a，
解得：a=167，
∴k=16．
故答案为：16．
根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
16.【答案】(1,2025)
【解析】解：观察，找规律：A(1,1)，A1(2,0)，A2(0,−2)，A3(−3,1)，A4(1,5)，A5(6,0)，A6(0,−6)，A7(−7,1)，A8(1,9)，…，
∴A4n=(1,4n+1)(n为正整数)，A4n+1=(4n+2,0)(n为自然数)，A4n+2=(0,−(4n+2))(n为自然数)，A4n+3=(−(4n+3),1)(n为自然数)．
∵2024=506×4，
∴A2024的坐标为(1,2025)．
故答案为：(1,2025)．
根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点Ax的坐标满足“A4n=(1,4n+1)(n为正整数)，A4n+1=(4n+2,0)(n为自然数)，A4n+2=(0,−(4n+2))(n为自然数)，A4n+3=(−(4n+3),1)(n为自然数)”，根据这一规律即可得出A2024点的坐标．
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出坐标规律．
17.【答案】解：(1)原式=−1+4+3× 33−1+2− 3
=−1+4+ 3−1+2− 3
=4；
(2)解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x<3，
所以不等式组的所有整数解为1、2．
【解析】(1)先计算乘方、负整数指数幂、代入三角函数值、计算零指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO=∠DFO=90°，
在△AEO和△DFO中，
∠AEO=∠DFO∠AOE=∠DOFAE=DF，
∴△AEO≌△DFO(AAS)，
∴OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：由(1)得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD=2：3，
∴∠BAE=36°，
∴∠OBA=∠OAB=90°−36°=54°，
∴∠EAO=∠OAB−∠BAE=54°−36°=18°．
【解析】(1)证△AEO≌△DFO(AAS)，得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
(2)由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=36°，则∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)α=360°×(1−14%−30%−24%−12%)=72°；
补全频数分布直方图如下：

(2)∵八年级投稿篇数数据由小到大排列第25、26个数据分别为3，4，
∴m=3+42=3.5(篇)；
∵八班级投稿篇数4篇是出现最多的，
∴n=4；
七年级投稿平均数x−=7×1+10×2+15×3+12×4+6×57+10+15+12+6=3(篇)，
故表格中m=3.5，n=4， x−=3；
(3)从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八班级投稿情况好于七年级；
从方差看：八年级方差小于七年级方差，说明八年级波动较小，所以班级投稿情况好于七年级．
【解析】(1)将360°乘以投稿2篇所占百分比即可求出α；根据八年级的频数分布表数据补全频数分布直方图即可；
(2)分别根据中位数，众数，加权平均数的意义确定或算出即可；
(3)根据所得数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可．
本题考查频数分布表，条形统计图，扇形统计图，加权平均数，中位数，众数，掌握相关概念的意义，并能从统计图表中获取相关信息是解题分关键．
20.【答案】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，DC交于H，
∴∠EFD=90°，
由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°,ED=6,sin∠EDF=EFED，cs∠EDF=FDED，
∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6× 32=3 3(m)，
∴FD=ED⋅cs∠EDF=6×cs60°=6×12=3(m)，
由题意得，∠H=90°，四边形AEFH是矩形，
∴AH=EF=3 3，HF=AE=1.5m，
∵CF=CD−FD=3.5−3=0.5(m)，
∴CH=HF−CF=1.5−0.5=1(m)，
在Rt△BCH中，∠H=90°，∠BCH=180°−∠BCD=180°−135°=45°，
∵cs∠BCH=CHBC,tan∠BCH=BHCH，
∴BC=CHcs∠BCH=1cs45∘=1 22= 2≈1.4(m)，
∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45°=1(m)，
∴AB=AH−BH=3 3−1≈4.2(m)．
答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．
【解析】【分析】
过E作EF⊥CD于F，延长AB，DC交于H，得到∠EFD=90°，在Rt△EFD中，求出EF，DF，在Rt△BCH中，求出BH，CH，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
21.【答案】解：(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
根据题意得：10x+4y=12005x+8y=900，
解得：x=100y=50．
答：购进A种纪念品每件需100元，B种纪念品每件需50元；
(2)设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品(200−m)件，
根据题意得：200−m≤3m，
解得：m≥50．
设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w=30m+50×0.8(200−m)，
即w=−10m+8000，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥50，且m为正整数，
∴当m=50时，w取得最大值，最大值=−10×50+8000=7500，此时200−m=200−50=150．
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品150件时，获得的总利润最大，最大总利润为7500元．
【解析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据“购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品(200−m)件，根据购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OD，

∵AC为⊙O的切线，
∴∠CAO=90°，
∵CO//DB，
∴∠COA=∠DBO，∠COD=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠DBO，
∴∠COA=∠COD，
在△COA和△COD中，
OC=OC∠COA=∠CODOA=OD，
∴△COA≌△COD(SAS)，
∴∠CDO=∠CAO=90°，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AC=2，tanE=12，
∴AE=ACtanE=212=4，
∴CE= AC2+AE2= 22+42=2 5，
由(1)知△COA≌△COD，
∴DC=AC=2，
∴DE=CE−DC=2 5−2，
设⊙O的半径长为r，则OE=AE−r=4−r，
在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，
∴r2+(2 5−2)2=(4−r)2，
解得r= 5−1，
即⊙O的半径长为 5−1．
【解析】(1)根据平行线的性质推出∠COA=∠COD，再证△COA≌△COD(SAS)，即可证明CE是⊙O的切线；
(2)利用三角函数解Rt△CAE，设⊙O的半径长为r，则OE=AE−r=4−r，再用勾股定理解Rt△ODE即可．
本题考查解直角三角形，切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键掌握切线的判定定理，通过添加辅助线构造直角三角形．
23.【答案】解：(1)把x=0代入y=x−5得：y=−5，
∴A(0,−5)，
把y=0代入y=x−5得：0=x−5，
解得：x=5，
∴B(5,0)，
∴函数的表达式为：y=a(x−5)(x+1)=a(x2−4x−5)，
把A(0,−5)代入得：
−5a=−5，
解得：a=1，
故该抛物线得表达式为y=x2−4x−5；
(2)延长PF交BC于点H，如图1，

设：P(m,m2−4m−5)，则F(m,m−5)，
∴PF=m−5−m2+4m+5=−m2+5m=−(m−52)2+254，
∵−1<0，
∴当m=52 时，PF有最大值254，
此时，点P的坐标为(52,−354)；
(3)∵y=x2−4x−5=(x−2)2−9，
∴抛物线y的对称轴为直线x=2，平移后的抛物线表达式为y′=(x−4)2−9=x2−8x+7，
把y=0代入y′=x2−8x+7得：x2−8x+7=0，
解得：x1=1，x2=7，
∴Q(1,0)，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设N(2,n)，
∵点M在新抛物线上，
∴设M(t,t2−8t+7)，
①当BQ为边时，
则点Q向右平移4个单位得到点B，同样点M(N)向右平移4个单位得到点N(M)，
即t±4=2，
解得：t=−2或6，
即点M的坐标的坐标为：(6,−5)或(−2,27)；
②当BQ为对角线时，
由中点坐标公式得：5+1=t+2，
解得：t=4，
则M(4,−9)；
综上，满足条件的点M的坐标有M(4,−9)或(6,−5)或(−2,27)．
【解析】(1)先求出点A和点B的坐标，根据点B和点C的坐标得出y=a(x−5)(x+1)=a(x2−4x−5)，再将点A的坐标代入，求出a的值即可；
(2)延长PF交BC于点H，设P(m,m2−4m−5)，则F(m,m−5)，则PF=−(m−52)2+254，根据二次函数的性质，即可解答；
(3)根据题意得出抛物线y的对称轴为直线x=2，平移后的抛物线表达式为y′=x2−8x+7，进而得出Q(1,0)，设N(2,n)，M(t,t2−8t+7)，根据平行四边形的性质，进行分类讨论①当BQ为边时，②当BQ为对角线时，即可解答．
本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及平行四边形的性质．
24.【答案】解：(1)∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴由图1可知，AD=12AB,AE=12AC，
∴ADAB=AEAC，则ADAE=ABAC，
∵∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，
∴cs∠BAC=ABAC= 22，
根据旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴BDCE=ABAC= 22；
(2)由图1可知，点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴DE/​/BC，AD=12AB=2，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
根据勾股定理可得：BD= AB2−AD2=2 3，
由(1)可得：BDCE= 22，
∴2 3CE= 22，
解得：CE=2 6；
(3)令AB，DE相交于点Q，过点E作EG⊥BC于点G，如图4，

根据题意可得：BE=12BC=3，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴sin∠CAB=BCAC=35，cs∠CAB=ABAC=45，
∵边AB平分线段DE，∠DBE=∠ABC=90°，
∴BQ=DQ=12DE，
∴∠QBD=∠QDB，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠QDB=∠CAB，
∴∠QBD=∠CAB，
根据旋转的性质可得：∠QBD=∠EBG，
∴∠CAB=∠EBG，
∴sin∠CAB=sin∠EBG=35,cs∠CAB=cs∠EBG=45，
∴EG=BE⋅sin∠EBG=95，BG=BE⋅cs∠EBG=125，
∴CG=BC−BG=6−125=185，
∴tan∠ECB=EGCG=12．
【解析】(1)根据中点的定义得出AD=12AB，AE=12AC，进而得出ADAE=ABAC，易得cs∠BAC=ABAC= 22，通过证明△ABD∽△ACE，即可得出结论；
(2)根据题意推出当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，根据勾股定理可得BD= AB2−AD2=2 3，根据(1)可得BDCE= 22，即可求解；
(3)令AB，DE相交于点Q，过点E作EG⊥BC于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出BQ=DQ=12DE，则∠QBD=∠QDB，根据相似三角形的性质得出∠QDB=∠CAB，进而推出∠CAB=∠EBG，则sin∠CAB=sin∠EBG=35，cs∠CAB=cs∠EBG=45，求出EG=BE⋅sin∠EBG=95，BG=BE⋅cs∠EBG=125，则CG=BC−BG=185，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．投稿篇数(篇)
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七年级频数(人)
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10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
x
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m．
计算结果
…
交通展示
…