山西省长治市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省长治市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了33B等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 3名同学报名参加学校运动会的跳高、跳远比赛项目，每人限报一项，不同的报法种数是（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 5
【答案】B
【解析】依题意每位同学均有种报名方法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的报法.
故选：B.
2. 一名射击爱好者击中目标的概率是不能击中目标概率的3倍，设表示其击中目标的次数，若他射击一次，则的值是（ ）
A. 0.33B. C. 0.75D.
【答案】C
【解析】设击中目标的概率为，则不能击中目标概率是，
由题，
所以若他射击一次，则.
故选：C
3. 甲袋子中装有5个球，它们除颜色外都相同，其中3个白球，2个黑球.乙袋子中装有5个球，它们除颜色外都相同，其中2个白球，3个黑球.从甲袋子中随机取出1个球放入乙袋子中，之后从乙袋子中随机取出一个球.那么在从甲袋子中取出白球的条件下，从乙袋子中也取出一个白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知从甲袋子中取出白球到乙袋子中，此时乙袋子中有个白球，个黑球，
则从乙袋子中取出一个球是白球的概率，
即在从甲袋子中取出白球的条件下，从乙袋子中也取出一个白球的概率是.
故选：C
4 已知，则（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，解得.
故选：B
5. 离散型随机变量的分布列分别如表1、表2所示，且，则，的值分别为（ ）
A. 20，5B. 20，4C. 21，5D. 21，4
【答案】D
【解析】根据题意知，
，
.
故选：D
6. 根据变量的观测数据，绘制成散点图1；根据变量的观测数据，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析,设表示变量的样本相关系数，表示变量的样本相关系数，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可得随增大而减小，随增大而减小，
所以与增呈负相关关系，与呈负相关关系，故，
又由图可知图1相关性更强，故更接近，
所以.
故选：A.
7. 某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据分类统计结果，并计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，知，则下列判断正确的是（ ）
A. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是
B. 每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
C. 数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
【答案】C
【解析】因为，
所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于，
即在犯错误率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A错误；
每个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B错误；
故选：C．
8. 甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（ ）
A. 300种B. 120种C. 240种D. 180种
【答案】D
【解析】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高，
所以有两种相对名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲，
因此不同的名次有种可能；
老师对乙说：“很遗憾，你不是第一名，
当乙是第一名时，有甲没有丙的名次高，这时不同的名次有种可能，
因此6人的名次排列的情况有种可能，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）的数据如表所示：
根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A. 样本相关系数内
B. 当时，残差为2
C. 点一定在经验回归直线上
D. 广告费用是6万元时，销售额一定为130万元
【答案】AB
【解析】对于A，因为具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为，
所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确；
对于B，根据题意得，，
又必过样本中心点，
所以，解得，
故当时，，残差为，故B正确；
对于C，点即点，当时，，即点不在经验回归直线上，故C错误；
对于D，当时，，即广告费用是万元时，销售额估计为130万元，故D错误．
故选：AB．
10. 已知的展开式中的系数为8，则（ ）
A.
B. 展开式中的系数为
C. 展开式中所有项的系数和为0
D. 展开式中的奇数次幂项的系数和为
【答案】BC
【解析】对于A，因为的展开通项为，，
令得，；
令得，；
又，
所以的展开式中的系数为，
解得，故A错误，
对于B，因为，
其中的展开通项为，，
令得，；
令得，，
所以的展开式中的系数，故B正确；
对于C，令得，的展开式中所有项的系数和为，
故C正确；
对于D，的展开通项为，，
所以的展开式中的奇数次幂项的系数和为，故D错误．
故选：BC．
11. 一家蛋糕店某种蛋糕每天的销售量互不影响，其日销售量的频率分布直方图如图示，以频率估计概率，则该种蛋糕（ ）

A. 日销售量在150个以上的概率为0.3，日销售量的平均值约为140.07个
B. 30天内销售量不低于150个的天数约为9
C. 连续3天中出现连续2天销售量不高于150个，另外1天高于150个的概率为0.294
D. 一周之内连续3天出现前2天销售量连续不高于150个，第3天高于150个的情况的次数期望为0.735
【答案】BCD
【解析】对于A，日销售量在150个以上的概率为，
日销售量的平均值约为
个，故A错误；
对于B，因为日销售量在150个以上的概率为，
所以30天内销售量不低于150个的天数约为，故B正确；
对于C，售量不高于150个的概率为，
所以连续3天中出现连续2天销售量不高于150个，
另外1天高于150个的概率为，故C正确；
对于D，前2天销售量连续不高于150个第3天高于150个的概率为，
一周之内连续3天出现前2天销售量连续不高于150个，
第3天高于150个的情况的次数可能为0，1，2，3，4，5，
可得，所以，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一箱零件共有个，其中有个型，从中随机抽取两个零件，则抽取的这两个零件中型个数的期望是_________.
【答案】
【解析】设抽取的这两个零件中型个数为，则的所有可能取值为，，，
则，，，
所以．
故答案为：．
13. 用红、蓝两种颜色随机给一排4个格子染色，则至多有两个红色相邻的概率为______.
【答案】
【解析】用红、蓝两种颜色随机给一排4个格子染色，共有种方法，
设事件 “至多有两个红色相邻”，则 “至少个红色相邻”，
则至少个红色相邻有种方法，
所以，则．
故答案为：．
14. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有_________个，其中最大的数是_________.（用数字表示）
【答案】11；
【解析】依据给定条件我们发现第8条线为，第9条线为，
第10条线为，第11条线为，
第12条线为，第13条线为，
第14条线为，第15条线为，
第16条线为，第17条线为，
第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数，
第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数，
所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1，
所以第21条线上的数共有11个
我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1，
第5条线有，所以最大数字为3，
第9条线有，所以最大数字为15，
第13条线有，所以最大数字为84，
第17条线有，所以最大数字为495，
若设线的条数为，则第21条线中的最大数字也满足
第条线上的最大数字的规律，
而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行，
第8行为，第9行为，
第10行为，
第11行为，
第12行为，
第13行为，
第14行为，
第15行为，
第16行为，
我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数，
第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个，
第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个，
所以我们归纳出如下规律，在线的条数为时，
其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位，
所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为.
故答案为：11；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位数.
（1）其中偶数共有多少个？
（2）比2024大的数有多少个？
解：（1）当四位数的个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个，
当四位数的个位数字是2或4时，千位有4个数字可选，百位十位有种选法，
满足条件的四位数有个，
所以共有个偶数；
（2）比2024大的数有2025,共1个，
当2在千位，0在百位，3在十位时，
个位可以有1，4，5，共3个，
当2在千位，0在百位，4在十位时，
个位可以有1，3，5，共3个，
当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以有1，4，3，共3个，
当2在千位，1在百位，十位、个位共有种选法，
当2在千位，3在百位，十位、个位共有种选法，
当2在千位，4在百位，十位、个位共有种选法，
当2在千位，5在百位，十位、个位共有种选法，
当3在千位，百位十位个位共有种，
当4在千位，百位十位个位共有种选法，
当5在千位，百位十位个位共有种选法，
综上所述，
比2024大的数共有个.
16. 直播带货逐渐成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的列联表：
（1）请补全列联表；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析两个直播间观众的下单意愿是否有差异.
附：.
解：（1）补全列联表如下：
（2）因为，
所以依据小概率值的独立性检验，两个直播间观众的下单意愿无差异．
17. 某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元.
（1）任选1个香梨，求其重量大于的概率；
（2）以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.
附：若，则，，.
解：（1）因为，所以，，
所以，
即任选1个香梨，其重量大于的概率约为；
（2）由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以，
即估计该种香梨售价的平均值为元．
18. 一个盒子中有编号为1，2，3，且质地均匀的三枚硬币，第一次取出1号硬币，掷出后记录其得到的是正面或反面.从第二次开始的游戏规则是：①从盒子中剩下的硬币中随机取出一枚，并将上一次取出的硬币放回盒子中；②投掷取出的硬币，记录得到的是正面或反面.
（1）求第三次取出的硬币是1号硬币的概率；
（2）求第三次取出的硬币是2号硬币的概率；
（3）求第五次取出的硬币是1号硬币并投掷得到正面的概率.
解：（1）第三次抽取前，盒子中有两枚硬币，且这两枚硬币中包含号硬币，
所以第三次取出的硬币是号硬币的概率；
（2）第三次取出的硬币是号硬币的情况是：第二次取出的硬币是号硬币，
第三次从号硬币和号硬币中取一枚，且取到号硬币，
所以第三次取出的硬币是号硬币的概率为．
（3）若第五次取出的硬币是号硬币，
则第4次抽的硬币不能是号硬币，
第4次抽的硬币是号硬币的概率为，
则第4次抽的硬币不是号硬币的概率为，
故第五次取出的硬币是号硬币的概率为，
则第五次取出的硬币是1号硬币并投掷得到正面的概率．
19. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.
其中.
（1）根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）
（2）模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好；
（3）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为.
①求取得最大值时对应的概率；
②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
解：（1）令，则，
所以与呈线性相关关系，
由题，， ，
所以，
故，
所以，故，
所以模型②下关于的回归方程为；
当时，
经模型①计算估计产卵数为，
经模型②计算估计产卵数为.
（2）因为模型①，②的决定系数分别为，故，
所以模型②的拟合效果更好.
（3）①由题，
所以
，
令得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以取得最大值时对应的概率.
②由①知，当时取最大值，
所以当时，，
则由题意可知每年需要人工防治的概率为，且，
所以.万元
1
2
3
4
5
万元
21
90
109
下单的观众数（单位：百人）
未下单的观众数（单位：百人）
合计
甲直播间
6
乙直播间
1
合计
10
20
0.10
0.05
0.01
2.706
3841
6.635
下单的观众数（单位：百人）
未下单的观众数（单位：百人）
合计
甲直播间
6
9
15
乙直播间
4
1
5
合计
10
10
20
10
8
6
5
平均温度
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数个
5
9
22
25
65
118
324
441
529
625
729
841
1024
1225
1.61
2.20
3.09
3.22
4.17
4.77
5.78
27.43
773.43
81.14
3.55
20.03
0.37
0.29
0.0052