2024-2025学年四川省乐山第一中学校高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省乐山第一中学校高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列an中，a3+a5=8，则S7=( )
A. 12B. 28C. 24D. 35
2.已知函数f(x)=lnx+3x，则limΔx→0f(1−2Δx)−f(1)3Δx=( )
A. 83B. −83C. 6D. −6
3.设等差数列an,bn的前n项和分别是Sn,Tn，若SnTn=3n+72n，则a6b6=( )
A. 2017B. 2011C. 1722D. 1712
4.已知等比数列an的首项a1=1，公比q=2，则lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a11=( )
A. 50B. 35C. 55D. 46
5.已知数列−1，a1，a2，a3，−4成等差数列，数列−1，b1，b2，b3，−4成等比数列，则a2−a1b2=( )
A. −34B. −38C. 38D. 34
6.著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+ann∈N∗，则1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2023是斐波那契数列中的( )．
A. 第2022项B. 第2023项C. 第2024项D. 第2025项
7.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1，则数列1f(n)(n∈N∗)的前n项和是( )
A. nn+1B. n+2n+1C. nn−1D. n+1n
8.“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧如此下去，则所得螺旋线CA1、A1A2、A2A3⋯A28A29、A29A30的总长度Sn为
A. 310πB. 1103πC. 58πD. 110π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1>0，a4+a11>0，a7a8S9
C. 当n=7时，Sn最大D. 当Sn>0时，n的最大值为14
10.(多选)已知函数fx的导数为f′x，若存在x0，使得fx0=f′x0，则称x0是fx的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. fx=x2B. fx=1xC. fx=lnxD. fx=e−x
11.设a,b∈R，在数列an中，a1=1,an+1=ban+a,n∈N+，则下列说法正确的是( )
A. 当a=1,b=−1时，a10=1B. 当a=2,b=1时，Sn=n2−2n
C. 当a=0,b=2时，Sn=2n−1D. 当a=1,b=2时，an=2n−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列an的通项公式是an=−1n2n−1，则该数列的前100项之和为 ．
13.已知函数fx=sin2x−f′π6⋅csx，则f′π6= ．
14.我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》卷中，第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺．”则每天增加的数量为___ __ 尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17=__ ___ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
等比数列an中，a1=1,a5=4a3．
(1)求an的通项公式；
(2)记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
16.(本小题15分)
已知函数fx=−x3+1x+1,gx=e−4x+2．
(1)分别求出fx、gx的导数；
(2)若曲线fx在点1,1处的切线与曲线gx在点t,gt处的切线平行，求t的值．
17.(本小题15分)
设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N∗．
(1)求通项公式an；
(2)设数列bn=an−(2n+5)，求bn的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=3x2x+1，数列an满足a1=35,an+1=fan,n∈N∗
(1)证明数列1an−1为等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)设Tn=1a1+1a2+⋯+1an，求Tn；
(3)对于(2)中的Tn，若存在n∈N∗，使不等式n+1−Tn≥k2n−1⋅n成立，求实数k的最大值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Tn，且点(n,Tn)在函数y=32x2−12x上，且an+2+3lg4bn=0(n∈N∗).
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列cn满足cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Sn；
(3)记数列1bn的前n项和为Bn，设dn=1bn⋅B n2，证明：d1+d2+⋯+dn0，
Tn=b1+b2+b3+b4+⋯+bn=−b1−b2−b3+b4+⋯+bn=b1+b2+⋯+bn−2b1+b2+b3
=30−2×1+5+31−2×2+5+⋯+3n−1−2n+5+28
=30+31+⋯+3n−1−7+9+⋯+2n+5+28=3n−12−n7+2n+52+28=3n+552−nn+6，
所以Tn=nn+6−3n−12,n≤33n+552−nn+6,n>3．

18.【详解】(1)因为函数f(x)=3x2x+1，所以an+1=fan=3an2an+1，
则1an+1=23+13⋅1an，即1an+1−1=131an−1，
所以数列1an−1是以1a1−1=23为首项，13为公比的等比数列，
则有1an−1=23⋅13n−1，即1an=23n+1，
故数列an的通项公式为an=3n3n+2；
(2)由(1)可知：1an=23n+1，
所以Tn=1a1+1a2+⋯+1an=213+132+⋯+13n+n=2×131−13n1−13+n=1−13n+n
(3)由(2)可知：Tn=1−13n+n，所以n+1−Tn≥k(2n−1)⋅n化简为13n≥k(2n−1)⋅n，
因为n∈N∗，所以由13n≥k(2n−1)⋅n，得k≤(2n−1)⋅n3n，
设bn=(2n−1)⋅n3n，则bn+1−bn=(2n+1)⋅(n+1)3n+1−(2n−1)⋅n3n=−4n−342+1343n+1，
由二次函数性质可知：当n∈N∗时，函数g(n)=−4n−342+134是减函数，
g(1)=3>0,g(2)=−31,n∈N∗时，g(n)=−4n−342+134b4>⋯>bn，因此bnmax=b2=23，
存在n∈N∗，使得n+1−Tn≥k(2n−1)⋅n成立，
则有k≤23，因此实数k的最大值23．

19.【详解】(1)由点(n,Tn)在函数y=32x2−12x上，得：Tn=32n2−12n
(ⅰ)当n=1时，a1=T1=32−12=1．
(ⅱ)当n≥2时，an=Tn−Tn−1=3n−2，∴an=3n−2．
又∵an+2+3lg4bn=0，
∴bn=4−n=14n．
(2)∵cn=an⋅bn=3n−2(14)n且Sn=c1+c2+c3+⋯+cn，
∴Sn=1×141+4×142+7×143+⋯+3n−2×14n…①
14Sn=1×142+4×143+7×144+⋯+3n−2×14n+1…②
由①−②得：34Sn=14+3142+143+⋯+14n−3n−214n+1，
34Sn=14+31161−14n−11−14−3n−214n+1，
整理得：Sn=23−3n+2314n．
(3)证明：∵1bn=4n，∴数列1bn的前n项和为Bn=41−4n1−4=434n−1，
∵dn=1bn⋅Bn2=114n×1694n−12=9×4n164n−12，
∵9×4n164n−12