山东省青岛第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试（第二次月考）数学试卷

这是一份山东省青岛第一中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试（第二次月考）数学试卷，共11页。试卷主要包含了12，25B．1等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．定义在上的偶函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）
A．1.25B．1.5C．1.67D．2
6．已知满足，且当时，，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
7．已知函数满足：，函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．4
8．已知函数，实数m，n满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为
10．函数，被称为狄利克雷函数，则（ ）
A．是偶函数
B．对任意，有
C．对任意，有
D．对任意，有
11．若函数在上满足：对任意的，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
12．定义为a，b中较大的数，已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的值域为
B．是周期函数
C．图像既有对称轴又有对称中心
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知O为坐标原点，若角的终边上一点P的坐标为，且，线段OP绕点O逆时针转动90°后，则此时点P的坐标为________．
14．函数在区间上的零点的个数为________．
15．已知，，定义表示不超过x的最大整数，则函数的值域是________．
16．已知函数．若方程有5个实数根，则m的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合，．
（1）求；
（2）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知．
（1）化简；
（2）若，，求的值．
19．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
（2）若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数a、b的值．
20．（12分）已知函数为偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若方程有且只有一个根，求实数a的取值范围．
21．（12分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入．据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元．
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知函数，（）．
（1）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
2023-2024学年度12月月考数学参考答案
1．B 2．B 3．B
4．B
因为函数是定义在上的偶函数，所以，即，
解得，所以，当时，为增函数，
因为，，，，所以，
所以，即．
5．B
6．C
因为满足，
即为偶函数，所以，又，
故，则，
因为当时，，所以，所以，则，
则当，（），即时，单调递增，
当，（），即时，单调递减，
当，可知在上单调递减，则C正确，D错误；
当时，可知在上单调递减，故B错误；
当时，代入增区间通式得在上单调递增，故A错误；
7．B
依题意，，
所以
所以，．
8．B
，
所以的定义域为，
，所以是奇函数，
由可得，．
9．BCD 10．ABD
11．ABD
不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
12．BD
做出函数的图像，如图所示：
令，即，则，，解得，，当，时，，由图可知，的值域为，故A错误；
且是以为最小正周期的周期函数，故B正确；
由图可知函数有对称轴，但是没有对称中心，故C错误；
由图可知，时，，故D正确．
13．
若角的终边上一点P的坐标为，且，
可得角为第三象限角，且，解得或（舍去），
即点P的坐标为，可得，
设角绕点O逆时针转动90°后得到角，则，
可得，，
且，，所以此时点P的坐标为．
14．3
令，可得或，由于，故由得或，
故函数在区间上的零点的个数为3．
15．
因为，，结合真数部分的范围，定义表示不超过x的最大整数，则函数的值域是．
16．
因为，所以的图象如下所示：
因为方程有5个实数根，令，
则有两个不相等的实数根、，则且，或且，或且；
令，当且时，则，即，解得，
当且，则，此时，解得，，不符合题意，
当且，则，解得，此时，解得，不符合题意；
综上可得若方程有5个实数根，则m的取值范围为．
17．（1） （2）
18．（1） （2）．
19．（1）；，；， （2）或．
（1）因为，所以函数的最小正周期为，
令，，得，，所以函数的对称中心为，，
令，，得，，故函数的减区间为，．
（2），又当时，，则，若，则有，解得，
当时，，解得，又明显不符合题意，故或者．
20．（1）因为为偶函数，所以
…4分
（2）依题意知： *
令 则*变为只需其有一正根．…5分
（1），不合题意．…7分
（2）*式有一正一负根经验证满足 ∴…9分
（3）两相等经验证 ∴…11分
综上所述∴或…12分
21．（1）75人 （2）存在，7
（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，（），解得，
又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）假设存在实数m满足条件．
由技术人员年人均投入不减少得，解得．
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，两边同除以得，
整理得，故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，
∴，即存在这样的m满足条件，其值为7．
22．（1） （2）
【详解】（1）因为，恒成立，所以，恒成立；
时，恒成立，满足题意；
时，只需，，即；
综上，实数a的取值范围是；
（2）时，令，则存在，有四个不等实根，
即有四个不等实根，令，时一个s对应两个x；时一个s对应一个x；时无x与之对应；则存在，有两个不等正根，则，存在，，即存在，，
即，且存在，，
时，时最大值为，
则，由可得，所以实数a的取值范围是．