2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高二下学期3月学情调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高二下学期3月学情调研数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A3,−1,0，若向量AB=2,5,−3，则点B的坐标是( )．
A. 1,−6,3B. 5,4,−3C. −1,6,−3D. 2,5,−3
2.设f(x)=xlnx，f′x为fx的导函数，若f′x0=2，则x0=( )
A. e2B. ln2
C. e D. ln22
3.用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是( )
A. A63B. A63−A53C. 5A52D. A53
4.在等比数列an中，a3⋅a8⋅a13=27，则a1⋅a15的值为( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，记AA1=a，AB=b，AC=c，点P满足BP=2PC1，则AP=( )
A. 13a−23b+13cB. 13a+23b+13cC. 23a+13b−23cD. 23a+13b+23c
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种B. 78种C. 84种D. 144种
7.已知函数f(x)=x+e−x−1，如果直线y=kx−1与f(x)的图象无交点，则k的取值范围是( )
A. [0,1]B. (1−e,e]C. (1−e,1]D. (1,e−1)
8.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AM⋅AB的最小值为( )
A. 16 2−4B. 162− 2C. 164− 2D. 16 2−2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=3Sn，n∈N∗，则( )
A. S2=4B. a6=16a4
C. 数列an是等比数列D. 数列Sn是等比数列
10.甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是( )
A. 共有72种安排方法
B. 若甲被安排在A学校，则有12种安排方法
C. 若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法
D. 若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AP=tAD1+1−tAB，t∈0,1，则( )
A. 当BD1⊥平面ACP时，t=13
B. AP⋅CP的最小值为−13
C. 当点D到平面ACP的距离最大时，t=23
D. 当三棱锥D−ACP外接球的半径最大时，t=23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知An2=Cnn−3，那么n= ．
13.已知i,j,k是不共面向量，a=2i−j+3k，b=−i+4j+2k，c=7i+5j+λk，若a，b、c三个向量共面，则实数λ= ．
14.有穷数列ann∈N∗,n≤13满足an+1−an=1，且a1,a5,a13成等比数列.若a1=1,a13=9，则满足条件的不同数列an的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲组有3名男生．3名女生；乙组有4名男生，2名女生．
(1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？
(2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？
(3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？
16.(本小题15分)
已知在 x+123xn的展开式中，前3项的系数分别为a1,a2,a3，且满足2a2=a1+a3.求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项．
17.(本小题15分)
记等差数列an的前n项和为Sn，a3+a7=5，a12=6.设bn=an⋅2nn．
(1)求S16的值；
(2)记K2n为数列bn的前2n项和，Tn为数列bn2的前n项和，且K2n=tTn，求实数t的值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，▵PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC.点E在线段PC上.

(1)若3PE=EC，在PB上找一点F，使得E、F、A、D四点共面，并说明理由；
(2)求点A到平面PBC的距离；
(3)若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为 3010，求二面角E−AD−B的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数fx=ae2x+a−2ex−x．
(1)若函数fx在点0,f0处的切线与直线x+3y=0垂直，求a的值；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)若fx有两个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.ABD
10.BCD
11.AB
12.8
13.19
14.32
15.解：(1)从这些学生中选出3人参加活动有C123=220种选法，
没有女生有C73=35种，
则至少有1名女生的不同选法有220−35=185种．
(2)女生来自甲组有C31C31C42=54种选法，
女生来自乙组有C32C41C21=24种选法，
故选出的4人中恰有1名女生的不同选法有54+24=78种．
(3)两组的女生站第一排同组学生相邻有A33A22A22=24种排法，
两组的男生站第二排同组学生相邻有A33A44A22=288种排法，
共有24×288=6912种不同的排法．
16.解：(1)因为 x+123xn展开式的通项公式为Tk+1=Cnk xn−k⋅123xk=12kCnkx3n−5k6，k=0,1,2⋅⋅⋅,n，
所以a1=120Cn0=1,a2=121Cn1=12n,a3=122Cn2=nn−18,
依题意得2×12n=1+nn−18，即nn−1=8(n−1)，由已知n≥2，
所以n=8，
所以 x+123x8的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以T5=124C84x23=358x23．
(2)由(1)知，Tk+1=12kC8kx24−5k6，
设展开式中系数最大的项为第k+1项，则12kC8k≥12k−1C8k−112kC8k≥12k+1C8k+1,
即8!k!⋅8−k!≥2⋅8!k−1!⋅9−k!2⋅8!k!⋅8−k!≥8!k+1!⋅7−k!，即9−k≥2k2k+2≥8−k,
解得2≤k≤3，所以k=2或k=3，
所以展开式中系数最大的项为T3=122C82x24−106=7x73和T4=123C83x96=7x32．
(3)由Tk+1=12kC8kx24−5k6(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8)为有理项知，24−5k6为整数，得k=0，6，
所以展开式中所有有理项为T1=120C80x246=x4和T7=126C86x−66=716x．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7=5，a12=6，
可得2a1+8d=5，a1+11d=6，解得a1=d=12，即有an=12n，
则S16=12×16×(12+12×16)=68；
(2)由(1)可得bn=an⋅2nn=2n−1，则bn2=4n−1，
则K2n=1−22n1−2=4n−1，
Tn为数列{bn2}的前n项和，可得Tn=1−4n1−4=13(4n−1)，
可得K2n=tTn，即为4n−1=t3(4n−1)，解得t=3．
18.解：(1)当F为靠近P点的PB四等分点，E、F、A、D四点共面．
理由如下：

如图，∵3PE=EC，∴PEEC=PFFB=13，∴EF//BC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，
∴EF//AD，∴E、F、A、D四点共面．
(2)

如图，取AD中点O，连接OB,OP.
∵▵PAD是等边三角形，AD=2，∴OP⊥AD,OA=1,OP= 3.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
∴OP⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD,∴OP⊥OB.
∵PB⊥BC,AD//BC,∴PB⊥AD.
∵OP⊥AD,PB⊥AD,OP⊂平面POB,PB⊂平面POB,OP∩PB=P,
∴AD⊥平面POB，又∵OB⊂平面POB，∴AD⊥OB.
∴OB= AB2−OA2= 4−1= 3,PB= PO2+OB2= 3+3= 6,
设点A到平面PBC的距离为ℎ，
∵VA−PBC=VP−ABC,∴13S▵PBC⋅ℎ=13S▵ABC⋅OP，即13×12×2× 6ℎ=13×12×2× 3× 3，
解得ℎ= 62.
所以点A到平面PBC的距离为 62.
(3)由(2)知，OA,OB,OP两两垂直，所以以O为原点，分别以OA,OB,OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则P0,0, 3,C−2, 3,0,A1,0,0,D−1,0,0，
所以PC=−2, 3,− 3,OP=0,0, 3,AD=−2,0,0.
设PE=λPC0≤λ≤1，则PE=−2λ, 3λ,− 3λ,OE=OP+PE=−2λ, 3λ, 3− 3λ,
则E−2λ, 3λ, 3− 3λ，AE=−2λ−1, 3λ, 3− 3λ.
又OP⊥平面ABCD，故取平面ABCD的法向量n1=0,0,1，
设AE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ=csAE,n1= 3− 3λ −2λ−12+3λ2+ 3− 3λ2= 3010，
化简整理得18λ=6，解得λ=13.
则E−23, 33,23 3,AE=−53, 33,23 3.
设平面ADE的法向量n2=x,y,z，则−2x=0−53x+ 33y+23 3z=0,
令y=2,则z=−1,x=0，所以平面ADE的法向量n2=0,2,−1．
所以，二面角E−AD−B的余弦值为csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=1 5= 55.

19.解：(1)由fx=ae2x+a−2ex−x，求导得f′x=2ae2x+(a−2)ex−1，
直线x+3y=0的斜率为−13，
又函数f(x)在点0,f0处的切线与直线x+3y=0垂直，
所以f′0=3，即2a+(a−2)−1=3，解得a=2．
(2)因为e2x>0，ex≥0，
所以当a≤0时，f′x0时，f′x=(2ex+1)(aex−1)=2a(ex+12)(ex−1a)，
令f′x=0，解得x=−lna，当f′x>0，解得x>−lna，当f′x0时，由(1)可知：当x=−lna时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(−lna)=1−1a−ln1a=1−1a+lna，
由于y=−1a,y=lna均为a>0上单调递增函数，所以函数y=1−1a+lna在a>0单调递增，
当a=1时，1−11+ln1=0，故当a=1时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点，
当a∈(1,+∞)时，由1−1a−ln1a>0，即f(−lna)>0，故f(x)没有零点，
当a∈(0,1)时，1−1a−ln1a0，故f(x)在(−∞,−lna)有一个零点，
假设存在正整数n0，满足n0>ln(3a−1)，则f(n0)=en0(aen0+a−2)−n0>en0−n0>2n0−n0>0，
由ln(3a−1)>−lna，所以n0>−lna，因此在(−lna,+∞)上有一个零点．
综上，a的取值范围为(0,1)．