重庆市巴蜀中学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市巴蜀中学校2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，算术平方根；根据无理数的定义：无限不循环小数，逐项分析即可求解．
【详解】解：，，是有理数，是无理数，
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，
∴点位于第四象限，
故选：D．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 2的平方根是
B. 没有平方根
C. 的算术平方根是5
D. 1的平方根和算术平方根都是1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得．本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0；负数没有平方根和算术平方根．
【详解】解：A. 2的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
B. 没有平方根，故该选项正确，符合题意；
C. 的算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
D. 1的平方根是，算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马，过山车的坐标分别为，．则摩天轮的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：如图所示，旋转木马，过山车的坐标分别为，，建立坐标系如下：
∴摩天轮的坐标为
故选：B．
5. 根据以下表格里的数据：
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点向右每移动两位，开方的结果的小数点向右移动一位，被开方数的小数点向左每移动两位，开方的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
故选：A．
6. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，熟知对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，进而求出的度数即可得解．
【详解】解：如图，
∵
∵，
∴，
∴
故选：C．
7. 下列命题①对顶角相等；②实数与数轴上的点一一对应；③同旁内角互补，两直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．是真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角相等，实数与数轴、平行的判定定理、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②实数与数轴上的点一一对应，是真命题；
③同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题不是真命题．
故选：C．
8. 如图，已知直线，则，，之间的关系是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过C作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质得出，，最后结合即可得出结论．
【详解】解：过C作，

∵，
∴，
∴，，
∴；
又，
∴，
∴，
故选：D．
9. 我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多9枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，由题意可得，
；
故选：B．
10. 已知是二元一次方程组的解，则的平方根是（ ）
A. 36B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组及平方根的定义，将代入，得到关于m，n的二元一次方程组，得：，再求平方根即可．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
得：，
∴的平方根为．
故选：D．
11. 甲、乙两名运动员沿长方形篮球场的边做环绕跑步运动，如图，根据长方形篮球场建立平面直角坐标系，甲从点出发，按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，乙从点出发，按顺时针方向以4个单位/秒匀速运动，两名运动员同时出发，则他们运动后的第2025次相遇地点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，是规律型题目，理解题意找准规律是解题的关键．利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体甲是物体乙的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：由题意知：长方形的边长为8和4，
①第一次相遇两名运动员运动的时间为 (秒)，
∴第一次相遇地点的坐标是；
②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为 (秒)，
∴第二次相遇地点的坐标是
③第三次相遇地点的坐标是；
④第四次相遇地点的坐标是；
…
则每相遇三次，为一个循环，
∵2025÷3=675，
故两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标为：，
故选：A．
12. 已知两个初始整式和．定义操作规则如下：
第次操作：将乘再减去，得到；
第次操作：将乘再减去，得到；
第次操作：将乘再减去，得到；
；
依此类推，第次操作：将乘再减去，得到．
设，则下列说法正确的个数有（ ）
第个整式．
对任意的正整数，都有
次操作后，．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，规律型——数字的变化类，解题的关键是根据已知条件寻找规律．
根据题意，可以写出前几个整式，从而可以发现这些整式的系数变化规律，进而可以得到和的值，然后即可判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题.
【详解】解：由题意可得，第次操作：，
∴，，
第次操作：，
∴，；
第次操作：，
∴，；
第次操作：，
∴，，故正确；
由上可得，，，，；
，，，，；
∴当为奇数时，，当为偶数时，，，
∴，故正确；
∴次操作后，，故正确，
故选：．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到轴的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标性质，解题的关键是注意不要将点到两坐标轴的距离混淆．根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，依此求解即可．
【详解】解：点的坐标是，
点到轴的距离为．
故答案为：．
14. 已知是关于，的二元一次方程，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义得到，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，
故答案为：．
15. 设、为实数，且，则的立方根是________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可．
详解】解：根据题意，得，，
解得，
∴，
∴，
∴的立方根是，
故答案为：3．
16. 如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
∴，，
∴


．
17. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在轴上，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．先根据题求得的值，然后根据点平移的规律解答即可．
【详解】解：点在轴上，点在轴上，
∴
解得：
∴
∴将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为
故答案为：．
18. 设表示最接近的整数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根规律探究问题，解答本题的关键是具有一般规律推导特殊性质的能力．先写出前几个数的值，然后可得出2个数、4个数、6个数……，依次相等，从而可得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
∴原式．
故答案：．
19. 本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有________种．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了三元一次方程组应用，不等式的整数解的问题，正确理解题意是解题的关键．
设单人间、标间、三人间的数量分别为，由题意得：，然后分类讨论解方程组即可．
【详解】解：设单人间、标间、三人间的数量分别为，
由题意得：
化简得，，
当，，则，
∴订1间单人间，5间标间，1间三人间；
当，，则，
∴订2间单人间，3间标间，2间三人间；
当，，则，
∴订3间单人间，1间标间，3间三人间，
∴订房方案有三种，
故答案为：3．
20. 一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且千位数字与百位数字形成的两位数减去十位数字等于个位数字，那么把这个四位数叫做“减差数”，例如：四位数，因为，所以是“减差数”．若一个四位自然数是“减差数”，记，若是一个有理数，则________，记，若能被7整除，则当最小时的值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式的加减，算术平方根，二元一次方程的解．理解新定义，正确推理计算是解题关键．
【详解】解：∵一个四位自然数是“减差数”，
∴，则
∴
∵四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，
，，最小为，最大为
∴即
∵是一个有理数，
∴，
当时，
当时，时，，
当时，，
∴（舍去）
当时，，
∴
∴， （舍去）
综上所述，
故答案为：．
∵一个四位自然数是“减差数”，
∴
∵，
∴，
∴
∵能被7整除，
∴能被7整除，
∵四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，
设，则
∵
∴
∴
∵
当时， 当时，，此时
当时，，舍去
当时，
当时，，此时
当时，
当时，，此时
当时，
当时，，此时
当时， ，舍去
∴当最小时的值是
三、解答题：（本大题7个小题，第23题8分，第27题12分，其余每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，化简绝对值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）先求算术平方根和立方根，然后进行有理数的混合运算即可；
（2）先计算乘法，化简绝对值，计算乘方，最后进行加减计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
22. 解二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）利用加减消元法即可求解；
（2）先将①两边乘以，得到③，然后利用加减消元法即可求解．
【小问1详解】
解：
得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：
【小问2详解】
解：
由①得，③
得，
解得：
将代入②得，
解得：
∴原方程组的解为：
23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点．
（1）将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形；
（2）的坐标为________，的坐标为________；
（3）顺次连接、、、四个点围成四边形，则这个四边形的面积为________．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，可得平移方向为向右平移个单位，向上平移个单位，找到的对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（3）根据长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形即为所求
【小问2详解】
解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
【小问3详解】
解：四边形为
故答案为：．
24. 如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识；
（1）设，根据平行线的性质，角平分线的定义可求出，，，结合已知求出，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）由（1）知：，根据平行线的性质和垂直的定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
证明：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，由（1）知：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25. 列方程（组）求解下面问题．
为了表彰在七年级上期半期考试中成绩优异和进步显著的同学，某班家委会购买了“巴蜀人”口袋笔记本和“”简装笔记本两种文创产品作为奖品，每种笔记本的单价如下图所示．购买的口袋笔记本的本数的2倍比购买的简装笔记本本数的3倍少4本，共计花费198元，其中8元是运费．
（1）口袋笔记本和简装笔记本各购买了多少本？
（2）本学期开学后，家委会决定购买“旗开得胜”文具8件套和“状元及第”文具4件套两种文具套装（包邮）来奖励七年级上期末考试成绩优异和进步显著的同学．其中“旗开得胜”文具8件套的单价比口袋笔记本的单价少，“状元及第”文具4件套的单价比简装笔记本的单价增加了（是个正整数），而购买的“旗开得胜”文具8件套的数量比口袋笔记本增加了，“状元及第”文具4件套的数量与简装笔记本一样多，最终期末表彰的总费用比半期表彰的总费用增加了，请求出的值．
【答案】（1）买了口袋笔记本本，简装笔记本本
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用；
（1）设购买了口袋笔记本本，简装笔记本本，根据题意列出一元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）分别表示出“旗开得胜”文具8件套和“状元及第”文具4件套两种文具套装的单价和数量，根据最终期末表彰的总费用比半期表彰的总费用增加了，列出方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设购买了口袋笔记本本，简装笔记本本，根据题意得，
解得：
答：买了口袋笔记本本，简装笔记本本，
【小问2详解】
解：“旗开得胜”文具8件套的单价比口袋笔记本的单价少，则单价为元
购买的“旗开得胜”文具8件套的数量比口袋笔记本增加了，则数量为本
“状元及第”文具4件套的单价比简装笔记本的单价增加了，则单件为元，“状元及第”文具4件套的数量与简装笔记本一样多，为套，
根据题意得，
解得：
26. 关于，的二元一次方程，（，，是常数，且，）有无数组解，如果我们把每组解和的值都分别作为点的横坐标和纵坐标，并描在平面直角坐标系中，会得到一个图形，我们把这个图形叫做这个二元一次方程的图象．
例如：⋯、、、、、⋯都是方程的解，对应可以得到点⋯、、、、、⋯，把所有的解对应的点都描在坐标系内，得到了方程的图象．
回答下列问题：
（1）和是二元一次方程图象上两个点，求，的值；
（2）若是（1）所求二元一次方程图象上的一个点，且满足，，，都是实数，求的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，非负数的性质等知识，解题的关键是：
（1）把和代入二元一次方程，得出关于a、b的方程，然后解方程即可；
（2）根据题意得出，解方程组得，根据非负数的性质得出，求出，然后把代入，化简得，然后根据的取值范围即可求解．
【小问1详解】
解：把和代入二元一次方程，得，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）知：二元一次方程为，
∵是二元一次方程图象上的一个点，
∴，
与联立方程组，
得，
解得，
∵，，
∴，
解得，
∴
，
∵，
∴当时，取最小值为，
即的最小值为．
27. 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标是，且，满足．点从点出发，速度为每秒2个单位，运动时间为秒．
（1）如图1，点的坐标为________，点的坐标为________．
（2）如图2，在四边形中，点沿移动，连接，，当三角形的面积等于四边形面积的时，求点的坐标；
（3）若点沿射线方向运动，点从点出发沿轴正方向运动，点不与点重合，速度均为每秒个单位．当时，点立即以原速返回至点，此时点、点均停止运动．连接、，分别在和内部作射线、，使得，平分，直线、交于点．直接写出、、的关系，并标注时间的范围．
【答案】（1）；
（2）或
（3），，，
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，分类讨论是解题的关键；
（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，求出m、n的值；
（2）根据题意得出，进而分当在上时，当在上时，根据三角形的面积建立方程，解方程，即可求解；
（3）设、，当时，点在上，在上， ，，，分别画出图形，根据平行线的性质，找出这三个角的关系，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，解得：，
∴点的坐标为：，点的坐标为，
故答案为：；．
【小问2详解】
解：∵将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，
∴
由（1）可得，
∴
∴，，
∴四边形的面积为，
∵三角形的面积等于四边形面积的
∴
如图所示，当在上时，
设，
∴
解得：
∴
当在上时，设
∴
即
解得：
∴，
综上所述，或
【小问3详解】
设、、
∵速度为每秒个单位．
当时，点在上，在上，
如图所示，过点分别作轴的平行线
∴
∴
∴
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴,
∴
当时，
∴
∴
∴
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴,
∴
∵当时，点立即以原速返回至点，
当时，如图，同理可得
当时，如图所示
同理可得
∴
∵平分，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴,
∴
综上所述，，，，