重庆市七校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案.
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，
则命题“，”的否定是：，，
故选：B.
2. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.
【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误；
对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确；
对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；
对D，该函数的值域不是为，故D错误.
故选：B.
3. 设集合，则集合的子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，先化简集合，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】易知，所以的子集个数为.
故选：B.
4. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】取可判断A；取可判断B；取特例可判断C；由不等式可加性可判断D.
【详解】对A，若，则，A错误；
对B，若，，则，B错误；
对C，取，则，C错误；
对D，由不等式的可加性可知，若，，则，D正确.
故选：D
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】由相互是否推出判断即可.
【详解】由，但，可知推不出；
由，但，可知推不出.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 集合或，，若(R为实数集)，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，结合数轴找出的范围即可.
【详解】∵全集，或，，
∴，
结合数轴可知，当时，，
则的范围为，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于中档题.
7. 设，，不等式恒成立，则实数最大值等于（ ）
A. 0B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
不等式变形为，再用基本不等式求得的最小值即可．
【详解】因为，，所以不等式恒成立，即恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立．
所以，即的最大值为9．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解．
8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果.
【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在−1,1上恒成立，
函数的对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 方程的解集是
B. 由1，2，3组成的集合可表示为或
C. 9以内的素数组成的集合是
D. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误；
【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确；
对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误；
对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确；
故选：BD.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 函数与是同一个函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有1个
C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，利用函数的定义可判断；C选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D选项，利用基本不等式进行求解；
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故函数与不是同一个函数，因此A不正确；
对于B，当函数y=fx在处无定义时，函数y=fx的图象与直线无交点，
当函数y=fx在处有定义时，函数y=fx的图象与直线只有个交点，
所以，函数y=fx的图象与直线的交点最多有个交点，因此B正确；
对于C，函数的定义域为，即，
则对于函数有，则，故函数定义域为0,1，因此C不正确；
对于D，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，
故的最小值不为2，因此D不正确；
故选：ACD.
11. 如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则.
B. ，
C. ，
D. ，.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相似比可得，故可判断A，结合基本不等式可判断B；设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为，根据和可解得，可判断C；利用，，根据相似比可得，即可判断D.
【详解】由梯形中位线性质可得.
因为梯形与梯形KLDC相似，所以，即,
当时，，A正确；
由基本不等式可知时，，B正确；
设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为，
则，即，
解得，
由题意可知，解得，C错误；
因为，所以，
所以，所以，
易知，所以，得，所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题关键是能灵活运用平行线分线段成比例，相似比，以及面积关系求出GH、KL、EF、MN，然后即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】31
【解析】
【分析】根据函数表达式先计算，再计算.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：31.
13. 设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________.（可用区间表示）

【答案】
【解析】
【分析】将如图阴影部分表示的集合记为，由图得且，接着求出即可求解阴影部分表示的集合.
【详解】将如图阴影部分表示的集合记为，
则由图可知且，
又，，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数______.
【答案】2或
【解析】
【分析】集合有且仅有两个子集，转化为方程只有一个解，分、讨论可得答案.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，
所以方程只有一个解，
当时，由得，符合题意，
当时，由得，符合题意，
综上所述，实数或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，的定义域为集合，为实数集.
（1）求集合；
（2）求，
【答案】（1）或，；
（2），
【解析】
【分析】（1）解不等式即可求解集合A，求函数定义域可得集合B；
（2）由（1）集合交集的定义即可直接计算得，接着结合补集和并集的定义即可计算求解.
【小问1详解】
解得或，则或，
由有意义，可得，即，故.
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以.
16. 设函数.
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，，，，求的最小值.
【答案】（1），
（2）16
【解析】
【分析】（1）借助一元二次不等式的性质结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得；
（2）代入计算可得，再借助基本不等式“1”的或用计算即可得.
【小问1详解】
由题意知，和是方程的两根，
所以，，解得，；
【小问2详解】
由，知，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为16.
17. 已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知二次函数满足，且：
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，的值域为，求的取值范围.
（3）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设二次函数，利用题目条件可以得到关于的方程组，解方程组得到，即可得到解析式；
（2）根据的图象、值域可得答案；
（3）分讨论，结合的图象求解可得答案.
【小问1详解】
设二次函数，，由题意知：
，整理得：，
即：，解得：，
∴；
【小问2详解】
因为，
所以其图象的对称轴为直线，当时，，
因为当时，，由二次函数图象可知
，解得，
所以的取值范围是；
【小问3详解】
由（1）知，的图象开口向上，
时，，解得：或，
∴当，，图象在轴下方，
当，，图象在轴上方，
对于，当时，，当时，
图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向上，当时，
图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，，
即有：，即：.
综上，的取值范围是.
19. 两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.
（1）将表示成的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为.
【解析】
【分析】（1）由，得，由题意得，再录
垃圾处理厂建在中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解；
（2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由为直径，得，
由已知得
又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，
即，，代入上式得，解得
所以表示成的函数为：
（2）
令
则
又，当且仅当，即，等号成立，
所以，当时，等号成立.
所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.