四川省内江市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题，本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设角 终边上的点的坐标为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由任意三角函数的定义即可求解
【详解】设角 终边所在圆的半径为 ，由题意得， ，
所以 ， ， ，所以 D 选项正确，
故选：D
2. sin53°cs23°－cs53°sin23°等于（ ）
A. B. － C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两角差的正弦公式可得答案.
【详解】sin53°cs23°－cs53°sin23°= .
故选：A.
3. 在 中，下列关系式正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理以及三角函数的诱导公式来逐一分析选项.三角形内角和定理为三角形的内
角和等于 ，即 ，由此可推出 ， .再结合三角函数诱导公式
进行判断.
【详解】已知 ，则 ，那么 .
根据诱导公式 ，可得 ，
所以 A 选项错误.
由上述可知 .
根据诱导公式 ，可得 ，
所以 B 选项正确.
因为 .
根据诱导公式 ，可得 ，
所以 C 选项错误.
由于 .
根据诱导公式 ，可得 ，
所以 D 选项错误.
故选：B.
4. 正 的边长为 1，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积公式，展开求值，即可得答案.
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【详解】由题意得 .
故选：D
5. 把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平
移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数压缩拉伸和平移的原则即可得到答案.
【详解】函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，解析式为
，
再将其向左平移 个单位长度，得到函数 .
故选：A.
6. 如图，已知点 是等腰直角 直角边 上的三等分点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，结合题设可得 ，利用差角正切公式
求值即可.
【详解】设 ，则 ， ，
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由图可知 ，
由题意 ， ，
所以 .
故选：B
7. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出 ，再由 及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
.
故选：B
8. 时，函数 与 的图象交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数图象即可求解.
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【详解】在同一直角坐标系中，分别作出 与 的图象，
根据图象可知： 与 的图象在 有 6 个交点，
故选：D
二、多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 是边长为 的正三角形，该三角形重心为点 ，点 为 所在平面内任一点，下列等
式一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及模长的定义分别判断各选项.
【详解】
如图所示，
设 的三边中点分别为 ， ， ，
则 ，
所以 ，A 选项错误；
成立，B 选项正确；
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由点 为三角形重心，可知 ，所以 ，C 选项正确；
，所以 ，D 选项正确；
故选：BCD.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若 ，则 与 中至少有一个为
B. 若 是等边三角形，则 ， 的夹角为
C. 中， 且 ，则 是等边三角形
D. 向量 在向量 上的投影向量可表示为
【答案】ABC
【解析】
【分析】举反例判断 A，根据向量夹角 定义判断 B，根据数量积的定义判断 C，根据投影向量的定义判断
D.
【详解】对于 A：当 与 均不为 ，且 时， ，故 A 错误；
对于 B：因为 是等边三角形，则 ， 的夹角为 ，故 B 错误；
对于 C：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，即 ，即 ，
所以 为顶角为 的等腰三角形，故 C 错误；
对于 D：向量 在向量 上的投影向量可表示为 ，故 D 正确.
故选：ABC
11. 已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换及三角函数单调性分别判断各选项.
【详解】A 选项：由 ，则 ，A 选项正确；
B 选项： ，又 ，所以 ，B 选项正确；
C 选项：由 ，所以 ， ，
则 ，
根据三角函数线可知 ，
则 ，
所以 ，C 选项错误；
D 选项： ，且 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 ，D 选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量的模为__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出 ，再根据投影向量的定义求出 在 方向上的投影向量，即可求出其模.
【详解】因为向量 的夹角为 ， ， ，
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所以 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ，
所以 在 方向上的投影向量的模为 .
故答案为：
13. 已知 ，则不等式 的解集为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 ，结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】由 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即不等式 的解集为 .
故答案为：
14. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，
，若将 的图象向右平移 个单位长度后关于 轴对称，则 ______．
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【答案】
【解析】
【分析】根据图象确定函数的最小正周期，再结合对称轴及点坐标可得参数值.
【详解】由图象及 ， ，
可知 ，及 ，
又 ，则 ，
由函数 的图象向右平移 个单位长度后关于 轴对称，
可知函数 的图象关于直线 轴对称，
根据图像可知当 时，函数 取得最小值，
即 ， ，
则 ， ，
则 ，
又函数 过点 ，
则 ，
解得 ，
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 在 上， .
（1）设 ， ，用 ， 表示向量 ， ；
（2）设 ， ，用 ， 表示向量 ；
（3）求证： ， ， 三点共线.
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（2）根据向量的线性运算可得解；
（3）根据向量的线性运算表示 ，根据向量共线定理可证向量共线，进而可证三点共线.
【小问 1 详解】
由已知四边形 是平行四边形，且 ， ，
则 ， ；
【小问 2 详解】
由点 在 上， ，
得 ；
【小问 3 详解】
由已知点 为 中点，则 ，
所以 ，又 与 有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线.
16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及对称轴、对称中心；
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（2）求 单调递增区间；
（3）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，对称轴为 ，对称中心为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）结合正弦函数的性质计算可得；
（3）由 的范围求出 的范围，即可求出函数的值域，从而得解.
【小问 1 详解】
因为
，
即 ，所以 的最小正周期 ，
令 ，解得 ，故对称轴 ；
令 ，解得 ，故对称中心为 .
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【小问 2 详解】
令 ，
解得 ，所以 单调递增区间为 ；
【小问 3 详解】
当 时， ，所以 ，
则 在 上的值域为 ，
因为不等式 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围为 .
17. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 ， 是两个夹角为 的单位向量， ，
．
（1）求 ， ；
（2）设 ，是否存在实数 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，结合数量积求模长即可；
（2）根据题意可得 ，结合数量积列式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ， 是两个夹角为 单位向量，
所以 ， ，
又 ， ，
所以
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，
又 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ， ．
若 是以 为斜边的直角三角形，则 ，
即 ，
可得 ，
即 ，化简得 ，解得 ，
所以存在 满足条件．
18. 已知 ， ，其中 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，比较 和 的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式即可得到答案；
（2）求出 ，再利用两角差的正切公式即可得到答案；
（3）利用辅助角公式和二倍角的正弦公式以及诱导公式即可得到答案.
【小问 1 详解】
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，
【小问 2 详解】
因为 ， ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，
又因为 ，则 ，
因 ， ，则 ，
则 ，则 .
【小问 3 详解】
。
则 .
19. 现有足够长的“ ”型的河道，如图所示，宽度分别为 5m 和 m，，若经过点 拉一张网 ，开辟如
图的直角 用于养鱼，设 .
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（1）求渔网长度 ，用含有 的式子表示，并写出定义域；
（2）求养殖面积 的最小值，及此时的 值；
（3）若分别以 为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值.
【答案】（1） ， .
（2）养殖面积 的最小值为 ，及此时的 .
（3）
【解析】
【分析】（1）过点 作 垂直于 ，垂直点为 ，求得 ， ，即可
求出 ，此时 .
（2）表示出 ， ，所以
，再由基本不等式即可求出养殖面积 的最小值.
（3）表示出两遮阳蓬面积和 ，由不等式“1”的代换即可得出答案.
【小问 1 详解】
过点 作 垂直于 ，垂足为 ，
则 ， ，
所以 ， ，
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所以 ， .
【小问 2 详解】
， ，
所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，即 时取等，
所以养殖面积 的最小值为 ，及此时的 .
【小问 3 详解】
因为 ， ，
设两遮阳蓬面积和为 ，
则
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，
当且仅当 即 时取等.
故两遮阳蓬面积和的最小值为 .
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