四川省成都市师大附中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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命题人：刘露 审题人：武婷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若一数列的前 4 项分别为 ，则该数列的通项公式可能为（ ）
A. B.
C D.
2. 对于实数 ，“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 m，n 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
4. 若在数列 中， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
5. 如图，已知正方体 的棱长为 2，若 K 为棱 的中点，过 A，C，K 三点作正方体的
截面，则截面的周长为（ ）．
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A. B. 6 C. D.
6. 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天
健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了？”
根据此规律，求后 3 天一共走多少里
A. 156 里 B. 84 里 C. 66 里 D. 42 里
7. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线 与 相交于
两点.若 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知数列 的前 项和 ，数列 的前 项和为 ，且 ，若不等式
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设数列 的前 项和为 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 已知双曲线 ， ， 分别为左右焦点，O 为坐标原点，点 ，P 为 C 右支上的
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一点，则（ ）
A.
B. 过点 M 且斜率为 1 的直线与 C 有两个不同的交点
C. 若 ， 斜率存在，则
D. 的最小值为
11. 在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，平面 平面
，点 在线段 上运动（不含端点），则（ ）
A. 四棱锥 的体积为 1
B. 四棱锥 外接球 表面积为
C. 不存在点 使得
D. 当 到直线 的距离最小时，过点 ， ， 作截面交 于点 ，则四棱锥 的体积
是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 直线 的倾斜角为________
13. 在等差数列 中， ，记 ，则数列 的前 30 项和为_________．
14. 若数列 满足 ，则称该数列为斐波那契数列.如图 1 所示的“黄金
螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个
正方形中作圆心角为 的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以 为边长的正方形中的扇形面积
为 ，数列 的前 项和为 ，则 __________.
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 小题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分，
共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知等差数列{an}中，a5＝8，a10＝23．
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（1）令 ，证明：数列{bn} 等比数列；
（2）求数列{nbn}的前 n 项和 Sn．
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
是线段 上的动点．
（1）当 是线段 中点时，求证： 平面 ；
（2）当二面角 余弦值为 时，求点 的位置．
17. 新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染
.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换 2000 辆燃油型公交车，每更换一
辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年投入了电力型公交车 64 辆，混合动力型公
交车 100 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 辆.
（1）求第 3 年该市投入的电力型公交车，混合动力型车分别是多少辆（注：3 年后该市燃油型公交车未被
全部更换）；
（2）设经过 年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市 年后被更换的公交车总数 ；
（3）若该市计划 5 年内完成全部更换，求 的最小值.
18. 现定义：若数列 为递减数列且 也为递减数列，则 为“ 数列”.
（1）已知： ， ，探究数列 ， 是否为“ 数列”；
（2）定义： ，已知数列 满足 ， ，求 的通项并证明
数列 为“ 数列”.
19. 如图所示，由椭圆 （ ）和抛物线 （ ）组合成曲线 ，若
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与 存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线 为“七星瓢虫
曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
（1）求“等差椭圆”的离心率；
（2）在“七星瓢虫曲线” 中，若 是“等差椭圆”，且 .
（ⅰ）求与 和 都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线 （ ），且 l 与 相交所得弦的中点为 M，与 相交所得弦的中点为 N，证
明：直线 OM，ON（O 为原点）的斜率之积 为定值.
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