四川省成都市2023_2024学年高二数学下学期3月月考试题含解析

这是一份四川省成都市2023_2024学年高二数学下学期3月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了 椭圆的焦距为2，则为， 如图，在三棱锥中，点满足，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D. 是等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.
【详解】对于A，已知，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
，符合上式
所以是通项为的等比数列，A选项正确；
对于B，已知，所以，
，不符合上式
所以，B选项错误；
对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；
对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；
故选：A.
2. 椭圆的焦距为2，则为（）
A5或13B. 5C. 8或10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分焦点位置进行讨论，进一步计算即可.
【详解】因为椭圆的焦距为2，
则且，，
当焦点在轴上时，
，
则，则，
当焦点在轴上时，
，
则，则，
故的值为8或10，
故选：C.
3. 如图，在三棱锥中，点满足，则（）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解.
【详解】，
所以，故．
故选：C.
4. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（）
A. 事件A与事件互斥B.
C. 事件A与事件D对立D.
【答案】C
【解析】
【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
可知，相互独立，
于是：，
由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确；
因为，所以，B错误；
因为，所以，D错误.
故选：C
5. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果．
【详解】因为，为等差数列，且，
所以可设，，
则，，
.
故选：D.
6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）
A. 0或2B. 0或C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.
【详解】设直线与曲线的切点为，由，则，
则，即切点为，所以直线为，
又直线与圆都相切，
则有，解得或．
故选：A
7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）
A. 4862B. 4962C. 4852D. 4952
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．
【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，
所以，
所以
.
所以.
故选：D
8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数 在上单调递增，即可得出结论．
【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得，
所以，
当为奇数时，，易得单调递减，且，所以；
当为偶数时，，易得单调递增，且，所以．
所以的最大值与最小值分别为2，．
函数在上单调递增，所以．
．所以的最小值．
故选：B．
【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围.
二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分）
9. 一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则（）
A. 图中
B.
C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2
D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议
【答案】ABC
【解析】
【分析】由频率分布直方图数据求解.
【详解】由频率分布直方图可知：，解之得，A正确；
评分落在内的有8人，所以，B正确；
评分的平均数为，C正确；
，所以甲不会被邀请，D错误.
故答案为：ABC
10. 下列说法正确的是（）
A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B. 已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C. 已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D. 已知函数，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.
【详解】由题意可知，，故A错误；
根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.
因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；
函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，
又，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，.则下列说法错误的是（）
A. B. 数列为等差数列
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先依据题给条件求得，从而得到选项BC判断错误；再依据题给条件求得，进而得到选项A判断错误，选项D判断正确.
【详解】，，则，
设切点坐标，则切线斜率
则，
整理得
则选项BC错误；
由，则选项D判断正确；
若，则，则，这与题意矛盾，故选项A判断错误.
故选：ABC
三､填空题（本大题共3小题，每5分，共15分）
12. 设是随机事件，且，则______．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.
【详解】因为，所以，
故．
故答案为：
13. 已知点M在抛物线上运动，过点M的两直线，与圆相切，切点分别为A，B，则当取最小值时，点M的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质及三角形等面积法，可得，故当最小时，最小.根据二次函数求出何时取最小值即可得解.
【详解】依题意，C点坐标为.
如图，设，设与交于H．
根据圆的性质，有，且在中，
，
而，则，
所以，当最小时，最小．
又，
当且仅当时，取得最小值，此时．
故答案为：
14. 已知向量在向量上的投影向量的模为，则________，使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】利用投影向量的定义可求出，得到；分析为整数时，对应的的值，得到新数列，再求新数列的前项的和.
【详解】因为，所以．
通过计算可得，当或时，均不是整数，
当时，．由此可得新数列为5，18，31，44，……，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，
所以．
故答案为：5；
四､解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15. 已知曲线，求
（1）曲线过点切线方程；
（2）曲线平行于直线的切线方程.
【答案】（1）或.
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出切点，写出切线方程，代入点，即可求得切线方程.
（2）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程.
【小问1详解】
因为切点在曲线上，所以可设切点为，求导得，
则，则切线方程为，
因为切线过，代入切向方程得：化简得，
则或
所以曲线过点的切线方程为：或.
【小问2详解】
直线的斜率为，设切点为，
则由（1）知切线方程为，
则由切线与直线平行得，即或，
所以切线方程为或，
即或
16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接OP，利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理即得.
（2）建立空间直线坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
连接OP，BD，如图：
由底面为菱形，得，则，又O为AD的中点，有，
在中，，O为AD的中点，则，
设，则，，即，
于是，又，平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由，，，平面，
则平面，又平面，于是，由（1）知直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
设，则，，，，
，，，
由（1）知平面，则取与平行的向量作为平面的法向量，
设平面PBC的法向量为，则，令，得，
设平平面与平面所成二面角为θ，显然为锐角，则，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
17. 已知数列的前项和为.数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系即可求解；
（2）利用倒数法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论，求出，利用数列求和中的分组求和法、等差数列的前项和公式及错位相减法即可求解
【小问1详解】
当时，，
当时，，
当时，依然成立，
所以的通项公式是.
【小问2详解】
由，得，
.
又.
故是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.
【小问3详解】
由（1）（2）知，，
则
.
令①，
②，
①－②得，，
，
，
.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设点，，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，写出线段的垂直平分线方程，求出点的坐标，求出、，利用正弦定理可求得的值.
【小问1详解】
解：由点在双曲线上，可得．
因为，所以．
又，所以，，，
所以双曲线的标准方程为．
小问2详解】
解：为定值，理由如下：
设直线的方程为，设点，，
联立，可得，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意，
故，此时，
则，，
由已知可得，可得，
则，，
所以，线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为．
令在直线的方程中，令得，即，
所以．
又，
在中，由正弦定理得，所以．
在中，由正弦定理得，所以，
所以为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
19. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
（1）求，的通项公式；
（2）记为的前项和，求证：；
（3）若，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出d，q，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前项和公式求出，求出，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可.
【小问1详解】
解：由已知可得，
，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，；
【小问2详解】
，
，，
则
，
所以；
【小问3详解】
，
令
，
则，
，得
，
令
，
.