2025年上海市静安区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市静安区高三二模数学试卷和参考答案，共8页。试卷主要包含了2 的概率．， 设，，则， ，等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1．已知全集为，集合，则_______．
2．不等式的解集为_______．
3．椭圆的离心率为_______．
4．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_______．
5．已知，则 _______．（请用含的代数式表达）
6．已知，则的值为_______．
7．设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有
摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为_______．
8．设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一
天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最
小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为_______．
9．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m (不计损
耗)．若要使该容器的容积最大，则容器的高为_______m．
10．已知，，则的最小值为_______．
11．从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，
那么的可能值为_______．
12．在边长为1的正三角形的边上分别取、两点，若沿线段折叠该三角
形时，顶点恰好落在边上．则线段的长度的最小值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13．“”是“一元二次不等式的解集为 ”的…………………( )
A．充分非必要条件；
B．必要非充分条件；
C．充要条件；
D．既非充分又非必要条件．
14．若复数(，是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则…( )
A．且；
B．且；
C．且；
D．且．
y
x
O
15．设是一个三次函数，为其导函数．如图所示的是函数的图像的一部分．则的极大值与极小值分别为 ………………………………………( )
A．与；
B．与；
C．与；
D．与．
16．设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为 …………………………………………( )
A．；
B．；
C．；
D．以上答案均不对．
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知向量、，记．
(1) 求函数的最小正周期；
(2) 若函数（其中常数）为奇函数，求的值．
18．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某校高三共有300名学生，分六个班，每班50人．为了解该校高三学生的视力情况，体检后每班按随机抽样的方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(1) 用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2) 已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意
抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率．
19．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
A1
C1
B1
C
A
D
B
E
如图，在正三棱柱中，，
延长至，使，是线段的中点．
(1) 求证：
= 1 \* GB3 ① 直线平面；
= 2 \* GB3 ② ．
(2) 求二面角的正弦值．
20．(满分18分) 本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图，在直角坐标平面中，△中 () 为正三角形，且满足，．
(1) 求点的横坐标关于正整数的表达式；
(2) 求证：点，，，在抛物线上；
y
x
O
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
A5
(3) 过 (2) 中抛物线的焦点作两条互相垂直的弦和，求四边形面积的最小值．
21．(满分18分) 本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若存在实数常数，，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
(1) 请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；(不必证明)
(2) 求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
(3) 试探究函数(为自然对数的底数)和函数在上是否存在分
界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
2025年上海市静安区二模数学试卷答案
一、1．； 2．； 3．； 4．；
5．； 6．； 7．； 8．；
9．1.2； 10．； 11．4； 12．．
二、13．B． 14．D． 15．C． 16．A．
三、17．解：(1) ， （4分）
故，函数的最小正周期为． （2分）
(2) ． （2分）
由函数为奇函数，得（此处也可以用诱导公式推得）
即，，， （4分）
由常数，解得． （2分）
18． 解：(1) 高三(1)班抽取的8名学生视力的平均值为
.
据此估计高三(1)班学生视力的平均值约为4.7． （6分）
(2) 因为高三六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4. 5、4.6、4.7、4.8，
所以任意抽取两个班学生视力的平均值数对有：
(4.3，4.4)，(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.5)，(4.4，4.6)，
(4.4，4.7)，(4.4，4.8)，(4.5，4.6)，(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.7)，(4.6，4.8)，
(4.7，4.8) 共15种情形； （3分）
其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有
(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.6)，(4.4，4.7)，(4.4，4.8)，
(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.8)，共10种. （3分）
所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为． （2分）
A1
C1
B1
C
A
D
B
x
y
z
F
E
19． (1) 证明： = 1 \* GB3 ① 由已知，有，．
又因为平面，
所以，直线平面． （4分）
= 2 \* GB3 ②由已知，有，
所以，直线是直线在内的射影．
又因为是线段的中点，△是全等三角形，
有．
再由三垂线定理，得． （4分）
(2) 解1：取的中点，
由于，有，，
所以，是二面角的平面角．（3分）
故，二面角的大小为．
所以，二面角的正弦值为． （3分）
解2：在△中，由于，所以．
以点为原点，建立空间直角坐标系， （1分）
则、、，
，． （2分）
设平面的法向量，则
即所以
所以．
取平面的法向量，则，
所以，二面角的正弦值为． （3分）
y
x
O
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
20．(1) ,
．（4分）
(2) 点的坐标为，则
即
满足方程，故点，，，在抛物线上. （6分）
(3) 抛物线的焦点为． （1分）
互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴，
设直线的方程为， （1分）
代入，得
所以有,
所以，． （1分）
将上式中的用代换，得， （1分）
于是
当且仅当时，上式等号成立．
故，四边形面积的最小值为18． （4分）
21．解：(1) ()． （4分）
(2) 当时，；（因为）．
所以，是函数和函数在上过坐标原点的分界线．（1分）
设是函数和函数在上过坐标原点的分界线．
当时，若，则不等式有解为，得； （2分）
若，则不等式的解集为，得．（2分）
故，． （1分）
(3) 若存在，则恒成立．
令，则，所以. （1分）
因此，恒成立，即恒成立，
由得，. （1分）
现在只要判断是否恒成立．
设，则， （1分）
当时，，，，
当时，，，
所以，即恒成立． （4分）
所以，函数和函数在上存在分界线，
其方程为. （1分）
11. 由，有，整理得，
由，得（舍）或.
12. 设，，则.
16. ，
所以，．
故，，
．
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1