四川省凉山州2023_2024学年高二数学下学期3月月考试题含解析

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1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）
一､单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，对整数的取值进行讨论，可求得集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
对于，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，，
因此，.
故选：B.
2. 已知复数z满足，则其共轭复数（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
3. 等比数列的各项均为正数，且，则（）
A. 12B. 10C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，
故选：C.
5. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
6. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．
【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，
所以.
故选：B
7. 函数的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：D
8. 如图，长方体中，，，M为的中点，过作长方体的截面交棱于N，下列正确的是（）
①截面可能为六边形
②存在点N，使得截面
③若截面为平行四边形，则
④当N与C重合时，截面面积为
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】利用点N的位置不同得到的截面的形状判断选项A，C，利用线面垂直的判定定理分析选项B，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项D．
【详解】长方体中，过作长方体的截面交棱于N，
设为的中点，根据点N的位置的变化分析可得，
当时，截面为平行四边形，
当时，截面为五边形，
当，即点N与点C重合时，截面为梯形，故①错误，③正确；
设截面，因为，所以，
又平面，且平面，所以，
又，所以平面，
所以N只能与C重合才能使，
因为显然不垂直平面，故此时不成立，故②错误；
因为当N与C重合时，截面为梯形，
如图所示，过M作垂直于于点，
设梯形的高为h，，
则由平面几何知识可得，
解得，
所以截面的面积为，故④正确．
故选：B.
二､多选题（每小题5分，共20分，少选3分，错选0分，全对5分）
9. 下列求导运算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10. 下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】AB选项，根据幂函数性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性.
【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；
B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，
又，故在单调递增，B正确；
C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；
D选项，，故当时，单调递减，D错误.
故选：AB
11. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
12. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.
【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；
对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
三､填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则的最大值为_______；曲线在处的切线方程为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，即可求得答案；根据导数的几何意义即可求得曲线在处的切线方程.
【详解】由可得，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故；
由，
故曲线在处的切线方程为，
即，
故答案为：；
14. 若直线与曲线相切，则切点的横坐标为________．
【答案】1
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，再利用导数说明函数的单调性，由，即可得到方程的解，从而得解.
【详解】因为，所以，
设函数，则，
所以在定义域上单调递增，
因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．
故答案为：
15. 若函数在区间上单调递增，则取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以，
故答案为：.
16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，分与讨论，然后转化为恒成立，代入计算，即可得到结果.
【详解】构造函数，其定义域为，
则，
当时，单调递增，不可能恒成立；
当时，令，得或（舍去）．
当时，；
当时，，故在上有最大值，
由题意知恒成立，即，
令，则在上单调递减，且，
故成立的充要条件是．
故答案为：
四､解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
，且，
所以；
【小问2详解】
根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
18. 2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．
（1）计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；
（2）拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．
【答案】（1），0.1
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，进而得到估计该校同学通关时间低于钟的概率；
（2）根据题意得到通关时间位于区间和的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为.
【小问2详解】
解：样本中同学通关时间位于区间的有人，即为，
通关时间位于区间的有：（位），即为，，
从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别为，，，，，，，，，，
所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，，，故此2人的通关时间均位于区间的概率为．
19. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据作差即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【小问1详解】
数列的前项和为，
当时，
当时，
所以，
又当时，也成立，
数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可得，
设数列的前项和为，
则
.
20. 已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.
【小问1详解】
由已知长轴为，短轴长为4，
可得，，
则椭圆C的标准方程为：；
【小问2详解】
依题意，
解得，
因为，可得，
且，
因为，
解得，
所以直线的方程为l：．
21. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.
【小问1详解】
如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱,为中点,
则点到直线的距离为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
则，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；
（2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可.
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，恒成立，所以的单调递减区间为,
当时，令，则，所以的单调递增区间为，
令，则，所以的单调递减区间为,
综上：当时，的单调递减区间为，无增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令（），
令（），则，
令（），则，
由得，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，
令，则，所以在单调递增，
令，则，所以单调递减，
所以，所以.
综上实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可.