四川省广安市2024_2025学年高二数学下学期3月月考试题含解析

这是一份四川省广安市2024_2025学年高二数学下学期3月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了 数列 的一个通项公式是， 下列求导运算正确的是， 在等比数列 中， ，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 数列 的一个通项公式是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.
【详解】由于数列的分母是从 开始的奇数，分子为 ，
所以通项公式是 .
故选： .
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本初等函数的导数公式及复合函数求导逐项判断即可.
【详解】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确.
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故选：D
3. 已知事件 与事件 互斥，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件概率的基本运算法则直接计算求解.
【详解】对于 A，由于不清楚事件 与事件 是否相互独立，所以无法计算 ，故 A 错误；
对于 B，因为事件 与事件 互斥，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 错误.
故选：B
4. 在等比数列 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的项的性质化简求解.
【详解】在等比数列 中， ，
则
则 .
故选：B.
5. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 到 350 度之间，频率分布直方图所示，
则用电量低于 150 度的户数为（ ）
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A. 30 B. 18 C. 36 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】先利用频率分布直方图求得用电量低于 150 度 频率，然后即可求解频数.
【详解】由频率分布直方图得：用电量低于 150 度的频率为 ，
所以用电量低于 150 度的户数为 .
故选： .
6. 已知等差数列 的 ，公差 ，则数列 的前 2025 项和为（ ）
A. B. C. 505 D. 1013
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式求出 ，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，此时令 ，
而其前 项和为 ，
，故 D 正确.
故选：D
7. 已知数列 满足 是数列 的前 项和，则 （ ）
A. 64 B. 75 C. 128 D. 32
【答案】B
【解析】
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【分析】由递推公式求得前 4 项，即可求解.
【详解】由 ，
可得： ，得 ，
，得
，得
所以 ，
故选：B
8. 已知一个各项非零的数列 满足 且 且 ，则 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，递推关系 可化为 ，证明 ，证明数列 为等比
数列，由此可求数列 的通项公式，再分别在 ， ， 条件下判断函数 的单调性
可得结论.
【详解】由条件可得： 且 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
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所以
若 ，则 , ，与 矛盾，
所以 ，故 ，
所以数列 为以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
故 ，
若 ，则 ，
数列 为递增数列，且 ，
所以数列 为递减数列，与已知矛盾；
若 ，则 ，
所以数列 为递减数列，且 ，
所以数列 为递增数列，满足条件；
当 时， ，故 ，
所以数列 为递减数列，
令 ，可得 ，
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所以当 ，且 时， ，
当 ，且 时， ，
与条件 矛盾，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
二､多选题：本题共 3 个小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 如图显示物体甲、乙在时间 0 到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B. 在 处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C. 在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在 到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】AC
【解析】
【分析】对 AB，根据导数的物理意义判断即可；对 CD，根据平均速度的定义判断即可.
【详解】对 AB，由图象可得在 处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故
A 正确，B 错误；
对 CD，在 到 范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故 C 正确，D 错误.
故选：AC
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10. 已知数据 的平均数为 10，方差为 1，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 数据 的方差为 4；
B. 数据 的平均数为 24；
C. 数据 的平均数为 10，方差大于 1；
D. 若数据 的中位数为 ， 分位数为 ，则 .
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断 ， ， ；由中位数和百分位数的计算方法即可判断
.
【详解】对于 ，因为 ，
所以 ，
所以数据 的平均数为 ，故 正确；
对于 ，因为 ，
所以
，
所以数据 的方差为 ，故 正确；
对于 ， ，
，故 错误；
对于 ，将数据从小到大排序，所以中位数 为第三个数和第四个数的平均数，
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因为 ，所以 分位数 为第五个数，
按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，
所以 ，故 正确.
故选： .
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数
分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点
个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则下列说法
正确的是（ ）
A. ；
B. 1225 既是三角形数，又是正方形数；
C. ；
D. ， 总存在 ， ，使得 成立；
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列 和 的递推公式，由累加法得通项公式，放缩法验证选项 A；用通项公式验证选
项 B；裂项相消求和验证选项 C；取实例验证选项 D.
【详解】依题意，数列 中， ， ， ， ，…， ，
，
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于是得 ， 满足上式，
数列 中， ， ， ， ，…， ， ，
于是得 ， 满足上式，
因此 ， ，
对于 A， ，
则 ，A 正确；
对于 B，因为 ，则 ，又 ，则 ，B 正确；
对于 C，当 时， ，
则
，C 错误；
对 于 D， ， ， 取 ， ， 则
，
所以 ， ，总存在 ， ，使得 成立，D 正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 可导，则 __________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】根据导数的定义可得 .
故答案为： .
13. 已知数列 的通项公式为 ，函数 的对称中心为 ，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】已知数列通项，观察可得待求表达式首末两项与首末等距离的两项和为定值，应用逆序求和思想，
结合对称中心性质可得解.
【详解】因为 ，
且 关于 对称，所以 ，则
，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
14. 设首项是 1 的数列 的前 n 项和为 ，且 ,若 ，则正整
数 m 的最大值是_______．
【答案】11
【解析】
【分析】分 为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而根据分组求和结合等比求和公
式可得 为偶数时的前 项和，再确定 的值即可．
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【详解】 ，
当 为偶数时，
，
，又 ，
故 ，故 ；
当 为奇数时，
，
，又 ，
故 ，故 ；
当 为偶数时，
由于
当 时， ，
当 时， ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，
故正整数 的最大值是 11，
故答案为：11.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与 轴， 轴分别交于点 ， ，求 的面积（ 为
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坐标原点）；
（2）求曲线 过点 的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率 ，进而结合切线方程求得点 ， ，由此可得三角
形面积；
（2）设切点坐标 ，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点 可得 ，由此
可得切线方程.
【小问 1 详解】
因为函数 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 在点 处 切线方程为 ，
即 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ， ，所以 ；
【小问 2 详解】
设过点 的切线与曲线 相切于点 ，
由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，解得 ，
所以所求切线方程为： ，即 .
16. 在正项等比数列 中，前 n 项和为 ，已知 .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）令 为数列 的前 n 项和，求 .
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）由正项等比数列 求得公比，结合通项公式，可得 ；再由对数的运算性质可得 ，由等
差数列的定义可证得结果；
（2）求得 ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数列 的前
项和．
【小问 1 详解】
证明：∵等比数列 中，已知
∴ ，解得： 或 （舍）.
∴ 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
∴ ， .
∴ ，
所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
【小问 2 详解】
由（1） ，
∴ ，
，
两式相减得： ，
整理得： .
17. 在① ；② ， ；③ ， .这三个条件中，请选
择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题.
已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且对任意正整数 ，有__________.
（1）求 的通项公式；
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（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）选①，利用 与 的关系即可求解；选②，由已知可得数列 是等差数列，可得
，根据 与 的关系即可求解；选③，由已知可得 ，当 时可得 ，验证
成立即可求解；
（2）由（1）可得 ，根据裂项相消法求和，再求解即可
【小问 1 详解】
选①，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
因为数列 的各项均为正数，所以 ，
所以 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
选②，因为 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ；
选③，因为 ，所以 ，
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所以当 时， ，当 时， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
因 ，所以 ， ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以
，即 得证.
18. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从 A，B，C，D 四个选项中选出
一个正确答案，其评分标准为全部选对的得 5 分，选错的得 0 分；多项选择题一般从 A，B，C，D 四个选
项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得 6 分，部
分选对的得部分分（两个答案的每个答案 3 分，三个答案的每个答案 2 分），有选错的得 0 分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得 5 分的概率；
（2）考生乙有一道答案为 ABD 多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得 4 分的
概率；
（3）现有 2 道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得 6 分的概率为 ，得 3 分的概
率为 ；考生丁得 6 分的概率为 ，得 3 分的概率为 .丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不
影响，求这 2 道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得 18 分的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）分丙得 12 分，丁得 6 分，丙得 9 分，丁得 9 分和丙得 6 分，丁得 12 分三种情况，利用独立事件和互
斥事件的概率求解.
【小问 1 详解】
甲同学所有可能的选择答案有 A，B，C，D 共 4 种可能结果，样本空间 ，
其中正确选项只有一个，设 M=“猜对本题得 5 分”，故 .
【小问 2 详解】
乙同学所有可能的选择答案有 10 种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间 ，共有 10 个样本点，
设 N=“猜对本题得 4 分”， ，有 3 个样本点，故 .
【小问 3 详解】
由题意得丙得 0 分的概率为 ，丁得 0 分的概率为 ，
丙丁总分刚好得 18 分的情况包含：
事件 A：丙得 12 分有 6+6 一种情况，丁得 6 分有 6+0，0+6，3+3 三种情况，
则 ；
事件 B：丙得 9 分有 6+3，3+6 两种情况，丁得 9 分有 6+3，3+6 两种情况，
则 ；
事件 C：丙得 6 分有 6+0，0+6，3+3 三种情况，丁得 12 分有 6+6 一种情况，
则 ；
所以丙丁总分刚好得 18 分的概率 .
19. 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， .按照如下方式依次构造
点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记
的坐标为
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（1）若 ，求 ；
（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3）设 为 的面积，证明：对任意正整数 .
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据题目中 构造方式计算出 的坐标即可；
（2）利用点差法和合比性质即可证明；
（3）利用点差法得到 ， ，再结合（2）
中的结论得 ，最后证明出 即可.
【小问 1 详解】
由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到 .
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支上.
故 ，从而 ， .
【小问 2 详解】
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因为 ， ， ，则 ，
由于 ，作差得 ，
，利用合比性质知 ，
因此 是公比为 的等比数列.
【小问 3 详解】
由于 ，作差得 ，
变形得 ①，
同理可得 ，
由（2）知 是公比为 的等比数列，令 则 ②，
同时 是公比为 的等比数列，则 ③，
将②③代入①，
即 ，从而 ，即 .
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