四川省泸州市泸县2024届高三数学下学期开学考试文试题含解析

这是一份四川省泸州市泸县2024届高三数学下学期开学考试文试题含解析，共18页。试卷主要包含了 设集合，，则， 若复数满足，，则复数的虚部为， 设，，则是的， 已知为锐角，且，则等于， 已知是函数，选D等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数函数的性质求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2. 若复数满足，，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先从中表示出，然后利用复数的运算法则化简计算.
【详解】因为，所以，
得，虚部为.
故选：C.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查学生的基本运算能力，属于基础题.
3. 已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知条件和椭圆中，，的几何意义以及，即可求出椭圆的焦距．
【详解】由题意可得，，所以，所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．
4. 设，，则是的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解不等式确定p,q所表示的范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解绝对值不等式可得：，
求解指数不等式可得，
据此可知是成立的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 已知为锐角，且，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
6. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系．是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含最x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间满足y＝15x﹣2x2．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克．标准差为克．则估计这批中医药的药物功效的平均值为（）
A. 14药物单位B. 15.5药物单位
C. 15药物单位D. 16药物单位
【答案】C
【解析】
【分析】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，根据平均值和标准差列出方程，再代入平均数的计算公式，即可求解.
【详解】设6个样本中药物成份甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5克，所以，
标准差为克，所以，可得，
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了统计知识的应用，其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7. 在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】基本事件总数，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.
【详解】由题意，基本事件总数，
每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数，
每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为,
故选：B
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
8. 函数的图象在点T(0,f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得函数的导数，根据导数的几何意义求得切线的方程，进而求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
可得，所以切线方程为，
令，可得切线在轴上的截距，
令解得切线在轴上的截距，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及三角形的面积的计算，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
9. 已知是函数（）的两个零点，且的最小值为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象的对称轴方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零点关系求出周期，根据周期求得，求出平移后的解析式，根据对称轴关系求解.
【详解】设函数的最小正周期为T，由，即，解得，
所以，平移个单位长度后得到的函数为，令，
解得，也即.
故选：D
【点睛】此题考查函数图象性质，根据周期求解析式，根据平移方式求解平移后的解析式，利用整体代入的方式求函数的对称轴.
10. 三棱锥S﹣ABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S﹣ABC的体积为2，则球O的半径为（）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】作出示意图，求得的面积，并计算出三棱锥的高，利用正弦定理计算圆的直径，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直径，得到答案.
【详解】如图所示，因为，
可得的面积为，
设的外接圆为圆，连接，则平面，
作圆的直径，连接，
因为分别为的中点，则，所以平面，
所以三棱锥体积为，解得，
由正弦定理，可得，，
设球半径为，则，解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
11. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】以线段 为直径的圆方程为 ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,联立方程 ,求得 ,因为 ,所以有 ,又 ,平方化简得 ,由求根公式有 (负值舍去).选D.
点睛: 本题主要考查双曲线的离心率, 计算量比较大, 属于中档题. 本题思路: 由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方. 涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式, 求根公式等.
12. 若存在使成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把方程转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，得到，即可求解.
【详解】由题意，方程成立，转化为，则且，
令，则，
则，所以单调递减函数，
又由，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以，解得或.
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围
【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，
显然时，不满足题意，
故只需满足，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.
14. 设等差数列前项和为，若，则_____．
【答案】65
【解析】
【分析】由求出，再求即可.
【详解】解：设的公差为，
，即；
.
故答案为：65.
【点睛】考查等差数列的性质和求前项和，基础题.
15. 若，满足且的最小值为，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用约束条件作出可行域，根据截距式计算即可.
【详解】由约束条件作出可行域如图，
结合图象知，点，
由,得，由图可知，当直线过A时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故答案为：．
16. 已知是奇函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合奇函数的性质可得，进而可得，按照、讨论成立情况；当时，转化条件为恒成立，令，求导求得的最大值，令即可得解.
【详解】由是奇函数可得，即，
所以，
当时，，可知此时单调递减，
所以，所以恒成立；
当时，，所以等价于，
令，则，
令，则，，
当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
若要使恒成立，则恒成立，
所以即；
当，，单调递增，所以恒成立，满足题意；
当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
若要使恒成立，则恒成立，
所以即；
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.
三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知内接于单位圆，且，
（1）求角
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）变形已知条件可得，代入可得，可得值；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理和基本不等式可得的取值范围，进而可得面积的最值．
【详解】解：（1）
，
，
（2）得外接圆为单位圆，
其半径
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得
，
，当且仅当时取等号，
得面积，
面积的最大值为：
【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属于中档题．
18. 如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面面，即可得出结论；
（2）利用已知条件分别求出三棱锥和四棱锥的体积，相加即为多面体的体积.
【详解】（1）四边形是菱形，
，又面，面，面，
同理得，面，
，面，且，面面，
又面，平面；
（2），，，
，，，，
在菱形中，，
，，
面面，取的中点，连接，，
面，面，由（1）知，面面，
点到面的距离为，
又点到面的距离为，连接，
则.
【点睛】本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查空间想象能力，属于常考题.
19. 某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图．公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元．
（1）对湿地公园，请在中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；
（2）从建设开始的第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由．
参考数据及公式：，；当时，，，回归方程中的；回归方程斜率与截距，．
【答案】（1）；（2）该年湿地公园产生的年经济净效益高，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由散点图可得应该选择模型，令，代入公式可得、，即可得投入额x与投入年份n的回归方程；
（2）由题意将代入即可得物流城第10年的年经济净效益；由回归方程可预测湿地公园第10年的投入，进而可得湿地公园第10年的经济净效益；比较大小即可得解.
【详解】（1）根据散点图，应该选择模型，
令，则，
，
故所求回归方程是即；
（2）由题意，物流城第10年的年经济净效益为（亿元）；
湿地公园第10年的投入约为（亿元），
该年的经济净效益为（亿元）；
因为，所以该年湿地公园产生的年经济净效益高．
【点睛】本题考查了非线性回归方程的求解与应用，考查了运算求解能力，熟练使用公式、细心计算是解题关键，属于中档题.
20. 已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、两点，设线段AB的中点为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线上的点到轴的距离等于，通过抛物线的定义，可得是抛物线的准线，即可求出，从而得到抛物线的方程，通过椭圆的右焦点，左焦点，由，解得，利用椭圆的定义求出，，即可求解椭圆的方程．
（2）显然，，由消去，推出，由消去，推出，求出，设，，结合韦达定理求解的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线上的点到轴的距离等于，
∴点到直线的距离等于点到焦点的距离，
所以是抛物线的准线，即，解得，
∴抛物线的方程为；
所以椭圆的右焦点，左焦点，
由得，又，解得，
由椭圆的定义得，
∴，又，得，
∴椭圆方程为．
【小问2详解】
解：显然，，
由，消去整理得，
由题意知，即，
由，消去整理得，
其中，化简得，
又，得，解得，
设，，则，
由，得，∴的取值范围是．
21. 已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导后，对分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性；
（2）根据在上为增函数，可得当且时，，再利用裂项求和可证不等式.
【详解】（1）因，且，
所以当时，，所以在上为增函数，
当时，由，得，所以，
所以，所以或，
所以或，
所以或，
由，得，解得，
所以在上递减，在和上递增.
（2）由（1）知，当时，在上为增函数，
所以在上为增函数，
所以当且时，，
即，所以，
所以
，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了裂项求和方法，属于中档题.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是上的动点，M是OP的中点，点的轨迹为曲线.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为求.
【答案】（1）：，：；（2）
【解析】
【分析】
（1）消参可得，将代入，即可得出的极坐标方程；利用相关点法求出点的轨迹方程，再利用普通方程与极坐标的互化即可求解.
（2）将代入的极坐标方程，求出点与点的极径，作差即可求解.
【详解】解:（1）消参可得，将代入，
可得的极坐标方程为，
设，由条件知，点在上，
所以(为参数) ，
所以的参数方程为(为参数)，
的极坐标方程为
射线与的交点的极径为
射线与的交点的极径为，
所以，
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标法求两点间的距离，属于基础题.
23. 已知函数
(Ⅰ)已知常数解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析: （Ⅰ）去掉绝对值结合即可求出不等式的解集;（Ⅱ）函数的图像恒在函数图像的上方，转化为恒成立,分离参变量,利用绝对值不等式求出函数的最值,进而求得参数的范围.
试题解析:（Ⅰ）由得,所以或
所以或,故不等式解集为
（Ⅱ）因为函数的图像恒在函数图像的上方，所以恒成立，则恒成立，因为,所以的取值范围是