辽宁省大连市三校联考2025届高三下学期模拟考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷时，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 ，则 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字
7 时，另外一面必须写着字母 .你的任务是：为了检验下面 4 张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看
哪些牌？（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③
4. 若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼
准备用 7 步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A. B. C. D.
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6. 墙上挂着一幅高为 1m 的画，画的上端到地面的距离为 2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一
点 A、下端一点 B 与摄像机连线的夹角称为视角（点 A，B 与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角
称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正
弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已 知 点 M 是 椭 圆 上 的 一 点 ， ， 分 别 是 C 的 左 、 右 焦 点 ， 且
，点 N 在 的平分线上，O 为原点， ， ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. ，不等式 恒成立，则正实数 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，若 及其导函数 的部分图象如图所
示，则（ ）
A.
B. 函数 在 上单调递减
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C. 的图象关于点 中心对称
D. 的最大值为
10. 已知正四棱锥 的棱长均为 2，下列说法正确的是（ ）
A. 平面 与平面 夹角的正弦值为
B. 若点 满足 ，则 最小值为
C. 在四棱锥 内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为
D. 点 在平面 内，且 ，则点 轨迹的长度为
11. 设数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，则（ ）
A. B.
C D.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知幂函数 ，写出一个使得不等式 成立的自然数 的值
__________.
13. 点 为圆 上的一个动点，点 ，则向量 在 方向上的投影数量
的最大值为__________.
14. 记 表示 三个数中的最大数．若函数 的值域
为 ，则 的最小值为______．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为直角梯形，
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， ，点 是棱 上靠近 端的三等分点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中 400 名居民体育锻炼
的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年
次数
每周 0~2 次 70 55 36 59
每周 3~4 次 25 40 44 31
每周 5 次及以
5 5 20 10 上
（1）若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2
次的称为体育锻炼频率低，不低于 3 次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性检验判断
体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取
8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 ，
求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周 星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球 3 种运动项目
中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星
期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
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龄
[20 30) [30,40) [40,50) [50,60]
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）若曲线 在 处的切线垂直于直线 ，对任意 恒成立，求
实数 b 的最大值；
（3）若 为函数 的极值点，求证： ．
18. 如图，直线 与直线 ，分别与抛物线 交于点 ， 和
点 （ 在 轴同侧），线段 与 交于点 .当 经过 的焦点 时 两点的纵坐标之积等
于
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）线段 与 交于点 ，线段 与 的中点分别为
①求证： 三点共线；
②若 ，求四边形 的面积.
19. 已知 是无穷数列， 是数列 的前 n 项和，对于 ，给出下列三个条件：① ；
② ；③ ；
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（1）若 ，对任意 ，数列 是否恒满足条件②，并说明理由；
（2）若 ，数列 同时满足条件①②，且 ，求数列 的通项公式；
（3）若 ，数列 同时满足条件①③，求证：
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