河南省郑州市中原区2025届九年级下学期第一次联考 数学试题试卷

这是一份河南省郑州市中原区2025届九年级下学期第一次联考 数学试题试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1.下列各数中，最小的数是（ ）
A.-5B.C.0D.
2.砚与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具.如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A.B.C.D.
3.中原熟，天下足.处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤=0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献.数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ）
A.1.3×1012B.1.3×1010×1012×1010
4.甲、乙两个学校统计男女生人数，分别绘制了扇形统计图（如图），下列说法正确的是（ ）
A.甲校的男生人数比乙校的男生人数多B.甲、乙两个学校的人数一样多
C.乙校的女生人数比甲校的女生人数多D.甲校的男女生人数一样多
5.如图，直线，∠2=31°，，则∠1的度数是（ ）
A.61°B.60°C.59°D.58°
6.下列计算正确的是（ ）
A.B.C.D.
7.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为4cm，则AP的长为（ ）
A.B.C.D.
8.一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知，点B到EF的距离为4m，，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A.B.C.D
9.如图，在中，，，，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A.2B.C.1D.
10.如图（1），点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是.图（2）是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A.B.C.5D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.写出一个比7大的整数：_______.
12.鱼缸里要饲养A，B两种鱼，经了解，A种鱼生长温度x℃的范围是，B种鱼生长温度x℃的范围是，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在_______的范围内.
13.小明笔袋里有两支红笔和两支黑笔（4支笔的款式相同），上课做笔记时，他随机从笔袋中抽出两支笔，刚好是一红一黑的概率是________.
14.如图，AB是的直径，CD与相切于点C，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC.若，，则BE的长度是_______.
15.在矩形ABCD中，，，E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C，当点C恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的路程为_______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：；（2）化简：.
17.（9分）中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程.某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送.学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）.学生会随机抽取了10位学生的评价分数（单位：分）：
学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司7.8分；乙公司7.7分.
（1）为了更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差等中的哪些统计量?请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析；
（2）你认为学生对哪家公司的饭菜质量更加满意?为什么?
18.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作轴，交于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线BD上的一点，且，请直接写出点P的坐标.
19.（9分）请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明.
（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.）
20.（9分）某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元/台，并且多买都有一定的优惠.两家商场的优惠条件如下表所示：
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与公这间的美系式.
（2）什么情况下，两家商场的收费相同?什么情况下，到甲商场购买更优惠?什么情况下，到乙商场购买更优惠?
（3）现在因为急需，计划从甲、乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少?最少运费是多少?
21.（9分）如图，是等边三角形，将沿直线BC平移到的位置，连接BD，交AC于点.
（1）线段BD与AC的数量关系是_______；
（2）判断BD与AC的位置关系，并说明理由；
（3）若连接AD，则四边形ABCD一定是菱形吗?为什么?
22.（10分）“诗圣”杜甫出生在巩县（今郑州巩义市）笔架山下的窑洞里，窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式.如图，某窑洞口的截平面下部为矩形EFGH，上部为抛物线.已知下部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米.
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，P点的坐标为________；
（2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式；
（3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户ABCD（窗户的边框忽略不计），使得点A，B在下部矩形的边上，点C，D在抛物线上，且，则这个窗户的宽BC为多少米?
23.（10分）（1）【观察发现】如图（1），在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M.为了求的度数，我们可以向右平移线段AB，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接CE，则的度数为
（2）【探究迁移】如图（2），正方形ABCD的CD边上有一动点E，以DE为边向外作正方形连接BF，CG交于点M，BF与CD交于点P，请仅就图（2）的情形解决以下问题：
①将线段CG向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在AD边上，连接HF，求证：；
②求的度数.
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，E为CD边的三等分点，请直接写出的面积.
河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级下学期
第一次联考数学试题答案
一、选择题
1.答案：A 2.答案：A 3.答案：A 4.答案：D 5.答案：C 6.答案：A
7.答案：A 8.答案：B 9.答案：B 10.答案：B
二、填空题
11.答案：8（答案不唯一） 12.答案： 13.答案：
14.答案：1 15.答案：或 16.（1）5（2）略
17.（1）答案：
答案：还需要了解中位数、众数和方差.甲公司得分的中位数是7.5分，众数是7分和9分，方差是1.86；乙公司得分的中位数是8分，众数是8分，方差是1.41.
（2）答案：学生对乙公司的饭菜质量更加满意.因为乙公司得分的中位数和众数都比甲公司高，且方差比甲公司小，说明乙公司的饭菜质量更稳定，且整体评价更好.
18.（1）
（2）答案：或
（3）（0，2）（8，2）.
19.已知：中，，BF，CE分别，的角平分线.
求证：，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵，∴，
∵BF，CE分别是，的角平分线，∴，
∵，，
∴，
∴，即等腰三角形两底角的平分线相等.
20.（1），即，
，即；
（2）①当时，即，解得：，
∴当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；
②当时，即，解得：，
∴当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
③当时，即，解得：，
∴当购买电脑5台时，两家商场收费相同.
21.（1）
（2）.
理由如下：
∵是等边三角形，由平移而得，
∴，，
∴，∴，
∴（依据：等腰三角形“三线合一”的性质），
即.（6分）
（3）四边形ABCD一定是菱形.
理由如下：
由平移知，，，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又，∴是菱形（依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
22.（1）以H为原点，HG所在直线为轴，建立平面直角坐标系如下：
∵窑洞口的最高点P离地面EF的距离为4米，矩形的长为4米，宽为2米，
∴P的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；
（2）根据题意，抛物线顶点为（2，2），且经过点（0，0），
设抛物线的表达式为，将（0，0）代入得：,
解得，
∴,
∴抛物线的表达式为；
（3）设，则，
∵，∴,
∵，∴，
把代入得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或或，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）或或（不符合题意，舍去），
∴，
∴（米）；
∴窗户的宽为米.
23.（1）45°
（2分）
（2）①证明：∵，，
∴四边形BCGH为平行四边形，
∴，∴.
②∵，，，
∴，
∴，.
又∵，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∵，∴.
（3）或.
解法提示：当点E为CD边上靠近点D的三等分点时，如图（1），则，.
∵，∴（模型：“X”型相似模型），
∴，∴.
∵，∴，
∴，∴.
过点M作于点N，易证（模型：“A”型相似模型），
∴，∴，
∴.
当点E为CD边上靠近点C的三等分点时，如图（2），则，.
用同样的方法，可得.学生A
学生B
学生C
学生D
学生E
学生F
学生G
学生H
学生I
学生J
甲公司
7
6
7
6
9
7
9
8
10
9
乙公司
6
5
8
7
8
8
8
9
8
10
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%