河北省张家口市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析，共14页。试卷主要包含了 设，则的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号及准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 把化成弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角度与弧度换算关系即可得答案.
【详解】由角度与弧度换算公式有.
故选：B
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用诱导公式化简求值即可.
【详解】.
故选：C
4. 设，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，则.
故选：A
5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数的单调性，结合一次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】由题意.
故选：B
6. 华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数型函数图象得到、的取值范围，再根据函数平移及指数函数的性质判断即可.
【详解】由函数且的图象可知，，
所以函数在定义域上单调递增，
而函数的图象是由的图象向下平移个单位得到的，结合选项可知只有C选项符合题意.
故选：C
7. 某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
参考数据.
A. 2028年B. 2029年C. 2030年D. 2031年
【答案】D
【解析】
【分析】设第年投入元（2020年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设第年投入元（2020年为第年），则，
令，即，
所以，
则，
则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元，
即年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元.
故选：D
8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可求得fx为偶函数，再结合复合函数的单调性可求得复合函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而对于不等式恒成立，可得得，即，从而对分情况讨论即可求解.
【详解】由题意可知函数，所以函数的定义域为，
且，所以fx为偶函数，
对于函数，当x>0时，，可得其在区间上单调递增，
又因为为增函数，由复合函数定义及偶函数的性质可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，则得，即，
当x=0时，成立，
当时，由，可得，
因为，当且仅当，即，即时取等号，
所以，得，故A正确.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则下列选项正确的是（ ）
A. 为钝角B.
C. D. 点在第四象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根据终边所过的点，结合三角函数的定义及任意角定义、诱导公式判断各项正误.
【详解】由题设，为第二象限角，但不一定是钝角，A错；
，B对；
，C错；
由，则点对应为在第四象限，D对.
故选：BD
10. 设正实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最大值为4
C. 的最小值为2D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式、指数运算性质及“1”的代换求各项代数式的最值.
【详解】由，则，可得，当且仅当取等号，A对；
由，当且仅当取等号，即最小值为4，B错；
由，当时有最小值为2，C对；
由，
当且仅当时取等号，故的最小值为，D对.
故选：ACD
11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 当时，函数有2个零点
B. 函数不可能有1个零点
C. 若函数有3个零点，则的取值范围为.
D. 方程有5个根
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即y=fx与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D.
【详解】因为，则，
画出的图象如下所示：
函数的零点个数，即y=fx与的交点个数，
当时，由图可知与y=fx有个交点，故函数有个零点，故A正确；
当时与y=fx有个交点，即函数有个零点，故B错误；
若函数有3个零点，则，
由图可知，且，即，所以，
则，
所以的取值范围为，故C正确；
由，即，
即或，
由图可得有个实数根，有个实数根，
所以方程有5个根，故D正确
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，将函数的零点个数问题转化为函数与函数的交点问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由，可得，，
由不等式的基本性质可得.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据指对数关系，对数的运算性质及换底公式求目标式的值.
【详解】由题设，，
所以.
故答案为：1
14. 如图，在中，是以为圆心，为半径的圆落在内部的部分（其中在上），若的面积与扇形的面积之比为，记，则__________.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】利用三角形、扇形面积公式及已知有，即可求结果.
【详解】由题设，，
所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用有理数指数幂、根式与指数幂关系化简求值；
（2）根据齐次式，由弦化切求值即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 已知幂函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可；
（2）首先得到当时的解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解.
【小问1详解】
因为为幂函数，所以，
解得或，
当时，为非奇非偶函数，不符合题意；
当时，为偶函数，符合题意；
综上可得；
【小问2详解】
由（1）可知当时，，
设，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，
综上可得.
17. 已知集合，.
（1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，由题意可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，集合是集合的真子集，
所以，，解得.
检验：当时，，此时，，合乎题意；
当时，，此时，，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
分以下两种情况讨论：
当时，，解得，此时，；
当时，，解得，
因为，则或，解得或，
此时，或.
综上所述，实数的取值范围是.
18. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①不恒为零；②对任意，都有；③当时，；④.
（1）证明：为奇函数；
（2）证明：在上单调递减；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）令、，结合奇偶性定义证明结论；
（2）应用函数单调性的定义证明结论；
（3）根据已知及函数的单调性、奇函数性质，将问题化为在上恒成立，应用换元法，及指数函数、二次函数的性质求左侧最大值，即可得参数范围.
【小问1详解】
令，则，
令，则，可得，
所以为奇函数.
【小问2详解】
令，则，且，
所以，故在R上单调递减；
【小问3详解】
由，则，
所以在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
由，则时最大值，
所以，故实数的取值范围.
19. 设函数.
（1）若，
（i）求的值；
（ii）若，求的值.
（2）已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式及的最大值.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2），的最大值为
【解析】
【分析】（1）（i）令，即可得到，从而求出的值，再根据平方关系计算可得；（ii）由（i）知，即可求出、，从而得解；
（2）令，，分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解
【小问1详解】
（i）令，则，
因为，所以，解得，
所以；
（ii）由（i）知，所以或，
又，所以，则，所以；
【小问2详解】
令，则，
所以，
令，，
当，即当时，函数在上单调递增，
所以，由，则，所以；
当，即当时，，
因为，所以；
当，即当时，函数在上单调递减，
所以，因为，所以，所以；
综上可得，且的最大值为.