2025北京门头沟高三一模数学试题及答案

这是一份2025北京门头沟高三一模数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

门头沟区 2025 年高三年级综合练习
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D
（2）B
（3）A
（4）C
（5）C
（6）D
（7）B
（8）C
（9）B
（10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11）-80 （12） 2
2 2
（13） (答案不唯一,    2k,k  Z 均可）
3 3
（14）2.88 8 （15）② ③ ④
说明
1、第14题第一空 3 分；第二空 2 分
2、第15题有四种分值，0 分，2 分，3 分，5 分，只要含有①就 0 分，写对一个 2 分，写 对两个 3 分，写全 5 分
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）如图所示，因为 ABCD  1A 1B 1C 1D 为正方体，
所以平面 ADD A1 1 / / 平面 BCC B1 1 .………1 分
又因为 ADD1 1A 平面 AD E1 = AD1， BCC B1 1 平面 AD E1 = EF ，
所以 AD1 / / EF .
………2 分
连接 BC1 ，因为 AB / / 1C 1D ， AB  C1 1D ，
所以四边形 ABC D1 1 为平行四边形. 因此 AD1 / /BC1 .
所以 BC1 / / EF .
又因为 E 为 BB1 中点，
所以 F 为 B C1 1 的中点.
………3 分
………4 分
………5 分
………6 分
（Ⅱ）以点 D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 D  xyz ，
………7 分
不妨设正方体的棱长为 2， 则 A(2,0,0), D1 (0,0, 2), E 2, 2,1 .
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从而 AD1   2,0,2 , AE  0,2,1.………8 分
设平面 AD E1 的法向量为 n  ( , , )x y z ，则

1


n  AD  0,
即
n  AE  0,
令 y  1，则 x  z  2 ，于是 n  (2, 1,2) . 易知平面 ABCD 的一个法向量为 m  (0,0,2)
方法一：
n m 2
所以 csn m,   | n | | m |  3 .………9 分
………10 分
………11 分
………12 分
………13 分
| n | | m |  3 .
………13 分
n m 2
2
所以平面 AD E1 与平面 ABCD 夹角的余弦值为3 .
方法二:
设平面 AD E1 与平面 ABCD 夹角为 ,cs  csn m, 
（17）（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）因为bsin2A 3a sin B ，
由正弦定理得sin Bsin2A 
3sinAsin B .………2 分
………4 分
由二倍角公式得 2sin Bsin Acs A 

3sin Asin B .
在△ABC 中，因为sin A  0,sinB  0，

所以 cs A 
3
.
2
因为 A0, ，
2 
………5 分
………6 分
（ A0,π或△ABC 中同样给分）
所以 A  .………7 分
π
6
（注：角 A、B 的范围总共 1 分，只要说出至少一个角的范围即可，一个角的范围 都没写扣 1 分）
数学
第 2 页 (共 8 页)
1 1

3 ，

第 3 页 (共 8 页)
………8 分
………9 分
（Ⅱ）选条件②：b  2 3 ， a  c  4 . 由余弦定理 a2  b2  c2  2bc cs A ，
得 a2 12  (4  a)2  2 2

3  (4  a)  3 ，
2整理得 2a  4 ，………8 分
………9 分
………10 分
………11 分
解得 a  2 ，
所以c  2 .
1 1 1所以 S△ABC  bc sin A   2 3  2 
3 ． ………13 分
2 2 2 （公式 1 分、结果 1 分）
选条件③： AB 边上的高h 

3, a  19 ． 3 ，
法一：因为 A  π6 ， AB 边上的高 h 
.
由余弦定理 a2  b2  c2  2bccs A ，
………8 分
………9 分
………10 分
………11 分
………13 分
得19 12  c2  6c ，即 c2  6c  7  0 ，
解得c  7 或c  1（舍）.


所以 S ABC  ch   7  2 2
1 1
3  7 3 . 2
（公式 1 分、结果 1 分）
法二：过 C 作 CD 垂直 AB 于 D，则CD  h 

3 ，
所以b  CD 
3  2
sin A
1
2


3  32  3.所以 AD  bcs A  2
b  h 
3  2
所以 sin A
1
2
3
因为 a  19 ，由勾股定理得 BD 
a2  h2
19  3 

16  4 ，………10 分
………11 分
………13 分
所以c  3  4  7 .
所以 SABC  ch   7 
3  7 3 . 2（公式 12 2
分、结果 1 分）
数学
2 2 2
（18）（本小题 14 分）

c
a
a  b  c .
解：（Ⅰ）从表格数据可知，抽查的120 名甲学院的学生中有 40 人使用 A 款大模型，
因此该校甲学院学生使用 A 款大模型的概率可以估计为 ． ………2 分
120 3
40 1
（也可以设事件，如果没有设事件也没有文字说明直接写出概率扣一分）
抽查的80 名乙学院的学生中有 60 人使用 A 款大模型，因此该校乙学院学生使用 A 款
大模型的概率可以估计为 ． ………4 分
（也可以设事件，如果没有设事件也没有文字说明直接写出概率扣一分）
………5 分
………6 分
………7 分
………8 分
………9 分





第（Ⅱ）问说明：
1.分布列有没有都不算分；
结果，只给期望 2 分；
3.求概率、期望结果不化简不扣分；

80 4
60 3
3 3 4 36
3 3 4 3 3 4 36
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2, 3.
则 P X(  0)  2  2  1  4 ，
P X( 1)  2  1  2  1  2  2 3  16 ，
P X(  2)  1  1  1  2  1 2 3  13 ，
P X(  3)  1  1  3  3 . 3 3 4 36
故 EX  0 4 1 16  2 13  3 3  51  17 . 36 36 36 36 36 12
（列式 1 分、结果 1 分） （Ⅲ） D 1Y( )  D( 2Y ) ．
3 3 4 3 3 4 36
………11 分
………14 分
2.求概率列式对就不扣分；若计算有错误，则扣期望 1 分；求概率没有列式直接给出最终
（19）（本小题 15 分）
b 1,

解：（Ⅰ）由题设，   2,
解得 a  2 ．
x2 2
………3 分
………4 分
………5 分
所以椭圆 E 的方程为 4  y  1．
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（Ⅱ）直线 BC 的方程为 y 1  k x(  2) ．
………6 分
得(4k2 1)x2  (8k 16k2 )x 16k2 16k  0 ．………7 分2 2
y  k x(  2) 1,
由 
x  4y  4
由   (8k 16k2 )2  4 (4k2 1) (16k2 16 )k  64k  0 ，得 k  0 ． （没有体现   0不扣分）
设 B x(1, y1), C x( 2 , y2 ) ，则 x1  x2  ， x x1 2  ．………8 分
2
2
16k2  8k 16k2 16k
4k 1 4k 1
直线 AB 的方程为 y  x 1．1
y 1
x1
x x
y1 1 k (x1  2)令 y  0 ，得点 M 的横坐标为 xM     ． ………9 分
1
1
同理可得点 N 的横坐标为 xN   ．x
k (x2 2 2)
………10 分
x x k (x1  2) k (x2  2)M  xN    ………11 分
2
1
1 x x
k x1  2 x2  21
 (  )
2
1 2x x  2(x  x )
k x x1 2  2(x1  x2 )  4 
1
2
1
2
2(16k 16k)  2(16k  8k)
2 2
1 2 2
  4k 1 4k 1
k 16k 16k 16k2  8k
2
2
2
 2( )  4
4k 1 4k 1
 1  16k  4 ．………12 分
k 4
设点 D 为线段 MN 的中点，则点 D 的坐标为 (2,0) ， ………13 分
又因为点 （2,1) 关于 x 轴的对称点为 （2，1），P
Q
所以点 D 也是线段 PQ 的中点，所以四边形 PMQN 为平行四边形，………14 分
又因为 PQ  MN ,所以四边形 PMQN 为菱形.
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当a  2 时， f x   xln x  x2  x ，
所以 f  x  ln x  2x  2 . 所以 f 1  0 .
………15 分
………1 分
………2 分
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又因为 f 1  0，
………3 分
所以曲线 y  f x( ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为： y  0. ………4 分 （Ⅱ） g x( )  f x( )  ln x  ax  a ．
g x( ) 的定义域为(0,) ．
g x( )   a ．1
………5 分
x
当 a ≤ 0时，则 g x( )  0 ，所以 g x( ) 在(0,) 单调递增． ………6 分
当 a > 0时，令 g(x)   a  0 ，解得 x  .
1 1
a
1
1
则当 x Î (0, ) 时， g(x)  0 ；当 x ( ,) 时， g(x)  0 ．………7 分
a a
所以 g(x) 在 (0, 1) 单调递增，在( ,) 单调递减．a
………8 分
（Ⅲ）因为 f x( ) 在定义域上单调递减，
所以 x (0,) 时， g x( )  f x( )  0 恒成立.………9 分
由（Ⅱ）知，当 a ≤ 0时， g x( )  f x( )在(0,) 单调递增，且 g 1  0， 则当 x Î (0,1) 时， g x   0 ；当 x (1,) 时， g x   0 ，不符合题意.
………10 分
当 a > 0时， g x( ) 在 x = 1 取得最大值，
a
+ a = a -lna -1 ．
最大值 g(1) = ln(1)-a´
1
a a a
令ha  a  lna 1(a  0) ，h 'a 1 1  a 1 .
………11 分
………12 分
a a
当a 0,1 ，h a'   0，ha 在(0，1)上单调递减；
当a 1, ，h a'   0，ha 在(1，＋∞)上单调递增. ………13 分
所以函数ha 有最小值h1  0．
………14 分
所以当 a  0且a 1时，ha  0 ,即 g(1 ) > 0 ，与 g x( )  f x( )  0 恒成立矛盾.
a 因此只有 a =1时， g x( )  f x( )  0 恒成立.
综上所述， a 的取值范围为 a Î{1}.………15 分
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（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） M 具有性质 G3 ．
理由： 14  34 1，
14  34  15  45  2 ，
12  13  14  34  15  45  16  3 ．
（Ⅱ）不存在.
………1 分
………2 分
………3 分
…………4 分
……………5 分
假设存在 M a a:1 , 2 , 3a a, 4 , a5 具有性质G4 ，因为 ai [0,1) ，所以 M 的任意四项和 小于 4 ．又因为 M 具有性质G4 ，所以 a1  a2  a3  a4  a5  4 ．对于 M 的任意四 项子列 S（不妨令 : 2S a a a a,3 , 4 , 5 ），则 a2  a3  a4  a5  4  a1  3 ，而 M 的任意 三项或小于三项的和小于3，故不存在 M 的子列其各项和为3，这与 M 具有性
质G4 矛盾，故不存在 M 具有性质 G4 ． （Ⅲ）因为 ai [0,1) ，所以t  7 ．
……………9 分
……………10 分
与（Ⅱ）道理相同，可知不存在 M 具有性质G6 ，故t  6 ．
…………11 分
令 ．M : , , , , , ,
13 13 13 13 13 13 13
5 8 10 11 12 12 12
5 8因为1   ，
13 13
5 10 11
2    ，
13 13 13
5 10 12 123     ，
13 13 13 13
4      ，5 11 12 12 12
13 13 13 13 13
5 8 10 11 12 12 12
5        ，
13 13 13 13 13 13 13
所以 M 具有性质 1G G, 2 , 3G G, 4 ,G5 ． 综上t 的取值范围是{1,2,3,4,5} ．
……………15 分
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评分说明：（1） M 的构造不唯一，考生需给出构造并验证；
（Ⅲ）中的与（Ⅱ）道理相同，是指以下证明过程，学生不必写出，直接说与（Ⅱ） 同理即可．
假设存在 M a a:1, 2 , 3a a, 4 , 5a a a,6 , 7 具有性质G6 ，因为 ai [0,1) ，所以 M 的任意六项和 小于 6 ．所以 a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  6 ．对于数列 M 的任意六项子列 S （不妨设
S : a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ），则 a2  a3  a4  a5  a6
a7  6  a1  5 ，而 M 的任意五项或小于五
项的和小于5 ，故不存在 M 的子列其各项和为5 ，这与 M 具有性质G6 矛盾，所以假设不成 立，故t  6 ．
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