2022北京门头沟区高三一模数学试题含答案

门头沟区2022年高三综合练习（一）

高三数学

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】C

2. 复数对应的点在复平面内的（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【2题答案】

【答案】B

3. 函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】D

4. 若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【4题答案】

【答案】C

5. 已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（    ）

A.  B.

C.  D.

【5题答案】

【答案】B

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【6题答案】

【答案】A

7. “角的终边关于原点对称”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【7题答案】

【答案】C

8. 已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】D

9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】B

10. 新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（    ）

A. 月日~月日 B. 月日~月日

C. 月日~月日 D. 月日~月日

【10题答案】

【答案】A

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）

11. 在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答）

【11题答案】

【答案】

12. 下表记录了某地区一年之内的月降水量.

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是______；分位数是_________．

【12题答案】

【答案】    ①. 56    ②. 64

13. 在中，，，，则_________；为的中点，则的长为_________．

【13题答案】

【答案】    ①. ##    ②.

14. 请举出一个各项均为正数且公差不为的等差数列，使得它的前项和满足：数列也是等差数列，则_________．

【14题答案】

【答案】（答案不唯一，满足即可）

15. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：

①；

②；

③直线与底面所成角的正弦值为；

④面积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是_________．

【15题答案】

【答案】①④

三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）

16. 已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．

（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数的图象经过点；

条件②：是的对称中心；

条件③：是的对称中心.

（2）根据（1）中确定的，求函数的值域．

【16~17题答案】

【答案】（1）   

（2）

17. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．

（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？

（2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；

（3）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：

假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）

【17~19题答案】

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，   

（3）

18. 如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．

（1）在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明；

（2）求二面角的余弦值及点到平面的距离．

【18~19题答案】

【答案】（1）作图见解析，证明见解析   

（2），

19. 已知．

（1）当时，判断函数零点的个数；

（2）求证：；

（3）若在恒成立，求的最小值．

【19~21题答案】

【答案】（1）一个零点   

（2）证明见解析    （3）

20. 已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为．

（1）求的方程；

（2）直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上.

①试证明直线过一定点，并求出此定点；

②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）．

【20~21题答案】

【答案】（1）   

（2）①证明见解析，；②.

21. 素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表

，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.

（1）求；

（2）证明：；

（3）证明：

①若在中，则不是素数；

②若不在中，则是素数．

【21~23题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）①证明见解析；②证明见解析