2024-2025学年山东省青岛市二中分校高一（下）3月质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市二中分校高一（下）3月质检数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设AB=(2,3)，BC=(−1,4)，则AC等于( )
A. (1,−7)B. (1,7)C. (−1,−7)D. (−1,7)
2.为了得到函数y=3sin(2x−π4)的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点( )
A. 向右平行移动π8个单位长度B. 向左平行移动π8个单位长度
C. 向右平行移动π4个单位长度D. 向左平行移动π4个单位长度
3.将向量OA=(1,1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到OB，则OA⋅AB=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.已知平面向量a,b满足：|b|=2|a|=2,a与b的夹角为120°，若(λa+b)⊥(a−b)(λ∈R)，则λ=( )
A. 0B. 1C. 32D. 52
5.在△ABC中，b2+c2−a2=bc，且sinB=sinC，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE=xBA+12yBC，则x+y的值为( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 8
7.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=2|b|，则向量a+b与a的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,2π3]上是增函数，其在区间[0,π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( )
A. [12,34]B. [12,52)C. [34,52)D. [52,3)
二、多选题：本题共3小题，共18。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的( )
A. a=e1+e2，b=e1B. a=2e1+e2，b=12e1+14e2
C. a=e1+e2，b=e1−e2D. a=e1−2e2，b=−e1+4e2
10.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|−3”的充要条件
C. 若2OA+OB+3OC=0，S△AOC、S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC=1：6
D. 在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且BA|BA|⋅BC|BC|=12，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在△ABC中，若b=5，B=π4，sinA=2 55，则a= ______．
13.已知a=(2,1)，b=(csθ,sinθ)，则a⋅b的最大值为______．
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，正八边形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，则λ+μ的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设向量a，b满足a⋅b=3，|a|=3，|b|=2．
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a−b|.
16.(本小题15分)
在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=4．
(1)若△ABC的面积为3 3，求AC；
(2)若AD=3 3，∠BAC=∠DAC，求tan∠DAC．
17.(本小题15分)
已知平面向量a,b,c，且a=(−2,1)．
(1)若a//c，且|c|=25，求向量c的坐标；
(2)若b=(3,2)，求a在b方向的投影向量(用坐标表示)．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2csB+abcsA=2c．
(1)求a；
(2)若A=2π3，且△ABC的周长为2+ 5，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=(3, 3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=3且x∈(−π3,π3)时，求x的值；
(2)设g(x)= 3cs(x+π3)+cs(π6−x)(x∈R)，试求函数g(x)的相伴特征向量OM，并求出与OM同向的单位向量；
(3)已知OA=(0,1)为函数ℎ(x)的相伴特征向量，若在△ABC中，AB=2，csC=ℎ(π6)，若点G为该△ABC的外心，求GC⋅AB+CA⋅CB的最大值．
参考答案
1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.A
9.ACD 10.BC 11.ACD
12.2 10
13. 5
14. 2 −2 2
15.解：(1)∵a⋅b=3，|a|=3，|b|=2，
∴cs=a⋅b|a||b|=33×2=12，
又∈[0,π]，∴=π3；
(2)|a−b|= (a−b)2= |a|2−2a⋅b+|b|2= 9−2×3+4= 7．
16.

17.解：(1)设c=(x,y),a=(−2,1)，
∵a//c，
∴x=−2y，
又|c|=25，
∴x2+y2=625，
∴y2=125，
∴y=±5 5，
∴x=−10 5y=5 5或x=10 5y=−5 5，
∴c=(−10 5,5 5)或(10 5,−5 5)；
(2)a⋅b=−6+2=−4，
∴a⋅b|b|=−4 13=−4 1313，
∴a在b上的投影向量为(−1213,−813)．
18.解：(1)由题设有a(acsB+bcsA)=2c，
则a(sinAcsB+sinBcsA)=2sinC，
所以asin(A+B)=2sinC，而A+B=π−C，
故asinC=2sinC，又sinC>0，
所以a=2．
(2)由(1)及已知，有csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−42bc=−12，
整理得b2+c2+bc=4，
又a+b+c=2+ 5，即b+c= 5，
所以(b+c)2−bc=5−bc=4，解得bc=1，
故S△ABC=12bcsinA= 34．
19.解：(1)O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，
称向量OM=(a, b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
向量ON=(3, 3)的相伴函数为f(x)，当f(x)=3且x∈(−π3, π3)时，
根据题意知，向量ON=(3, 3)的相伴函数为：
f(x)=3sinx+ 3csx=2 3sin(x+π6)，
当f(x)=2 3sin(x+π6)=3时，sin(x+π6)= 32，
又x∈(−π3, π3)，则x+π6∈(−π6, π2)，
∴x+π6=π3，故x=π6；
(2)∵g(x)= 3cs(x+π3)+cs(π6−x)= 3(csxcsπ3−sinxsinπ3)+csxcsπ6+sinxsinπ6=−sinx+ 3csx，
∴函数g(x)的相伴特征向量OM=(−1, 3)，
与OM=(−1, 3)同向的单位向量为OM|OM|=12(−1, 3)=(−12, 32)；
(3)OA=(0, 1)为函数ℎ(x)的相伴特征向量，
在△ABC中，AB=2，csC=ℎ(π6)，点G为该△ABC的外心，
由题意得，ℎ(x)=csx，
在△ABC中，AB=2，csC=ℎ(π6)=csπ6= 32，∴C=π6，
设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，ABsinC=2R=4，∴R=2，
∴|GA|=|GB|=|GC|=2，
GC⋅AB+CA⋅CB=GC⋅(GB−GA)+(GA−GC)⋅(GB−GC)
=GC⋅GB−GC⋅GA+GA⋅GB−GA⋅GC−GC⋅GB+GC2
=−2GC⋅GA+GA⋅GB+GC2=−8cs∠AGC+4cs∠AGB+4，
C=π6, ∠AGB=2C=π3, cs∠AGB=csπ3=12，
代入得GC⋅AB+CA⋅CB=6−8cs∠AGC，
∴当∠AGC=π时，GC⋅AB+CA⋅CB的最大值为6+8=14．