2024-2025学年四川省成都七中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都七中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角θ满足cs2θ=cs2θ，则sinθ=( )
A. −1B. 12C. 0D. 1
2.已知α∈(0,π2)，sin(α−π10)=13，则cs(α+2π5)=( )
A. −2 23B. 2 23C. −13D. 13
3.函数f(x)=sinx− 3csx(x∈[0,π])的单调递增区间是( )
A. [0,11π12]B. [−π6,5π6]C. [0,5π6]D. [−π6,0]
4.若tanθ=ba(−π20，b 3，求b⊕a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O．
(1)以AB，AC为基底表示BD；
(2)若BO=xAB+yAC，求x，y的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(csx,2sinx)，b=(2csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)=a⋅b在[0,π]上的单调递减区间；
(2)若f(x0)=115，且x0∈(π6,π3)，求cs2x0的值．
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，AB=2，AC=3，且|3λAB+2(1−λ)AC|的最小值为3，P为AB边上任意一点，求PB⋅PC的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sinx⋅csx+ 3sin2x− 32，将f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f(x)的单调递增区间，并写出函数g(x)的解析式；
(2)关于x的方程g(x)+csx−a=0在[0,2π)内有两个不同的解θ1，θ2；
①求实数a的取值范围；
②用a的代数式表示cs(θ1−θ2)的值．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.B
6.A
7.C
8.A
9.BCD
10.BC
11.AC
12.12
13.1019
14.(0,13]∪[23,56]
15.解：(1)对任意两个非零向量m，n，定义新运算：m⊕n=|m|sin〈m,n〉|n|，
已知向量a=(3,4)，b=(2,0)，则|a|= 32+42=5，|b|=2，a⋅b=6，
于是cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=35，而0≤〈a,b〉≤π，则sin〈a,b〉= 1−cs2〈a,b〉=45，
所以根据向量的新定义运算可得a⊕b=|a|sin〈a,b〉|b|=5×452=2；
(2)若非零向量a,b满足|a|=2|b|，且a⊕b> 3，
根据向量的新定义运算可得a⊕b=|a|sin〈a,b〉|b|=2sin〈a,b〉> 3，则 320，
所以sin(2x0−π3)= 1−cs2(2x0−π3)=45，
根据两角和的余弦公式可得cs2x0=cs(2x0−π3+π3)=cs(2x0−π3)csπ3−sin(2x0−π3)sinπ3
=35×12−45× 32=3−4 310，
故cs2x0=3−4 310．
18.解：已知在△ABC中，AB=2，AC=3，且|3λAB+2(1−λ)AC|的最小值为3，P为AB边上任意一点，
因为|3λAB+2(1−λ)AC|= 9λ2|AB|2+12λ(1−λ)|AB||AC|cs∠BAC+4(1−λ)2|AC|2
= 72(1−cs∠BAC)[(λ−12)2−14]+36= 72(1−cs∠BAC)(λ−12)2+18+18cs∠BAC
≥ 18+18cs∠BAC，
当且仅当λ=12时等号成立，
又因为|3λAB+(2−2λ)AC|的最小值为3，所以 18+18cs∠BAC=3，
解得cs∠BAC=−12，所以∠BAC=2π3，
如图所示建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(−32,3 32)，
设P(x,0)，x∈[0,2]，
所以PB⋅PC=(2−x,0)⋅(−32−x,3 32)=x2−12x−3=(x−14)2−4916≥−4916，
当且仅当x=14时等号成立，所以PB⋅PC的最小值为−4916．
19.解：(1)f(x)=sinx⋅csx+ 3sin2x− 32= 3×1−cs2x2+12sin2x− 32=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
因为2kπ−12π≤2x−π3≤2kπ+12π,k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z；
由图象平移的性质可得g(x)=3sinx；
(2)①由(1)可得3sinx+csx−a=0，
因为关于x的方程3sinx+csx−a=0在[0,2π)内有两个不同的解θ1，θ2，
即y=a与y=3sinx+csx= 10sin(x+θ)有两个交点，其中sinθ= 1010，
所以a∈(− 10, 10)；
②不妨设θ1