四川省成都市第七中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知角满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由倍角公式化简可得，再由平方关系即可求解
【详解】由，可得，．
故选：C
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角恒等变换得到，数形结合得到，求出答案.
详解】，
当时，，
由于在上单调递增，
故令，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：C
4. 若，，下列判断错误的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.
【详解】由选项知，，，
令，有，，
则，
对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；
对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；
对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；
对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.
故选：D
5. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解.
【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）．
设，则．因为，所以．
由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，
所以，所以的取值范围是．
方法二：如图2，连接．易知，
设，则．
由已知可得，所以，
所以
．
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：C．
6. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设曲线与相邻的三个交点为，根据两角差的余弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质求解出交点坐标，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】设曲线与相邻的三个交点为，
，
解得，
不妨取，则，
所以，
则，
由题意得为直角三角形，
所以，即，解得，
故选：A．
7. 函数，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出为偶函数，换元得到，解集为，考虑当和两种情况，求出，故，利用基本不等式进行求解
【详解】，为偶函数，
，
令，，所以，
不等式的解集为，
故的解集为，
得或，得，得，
当时，，所以，
故，故需满足，，
当时，，所以，
故，
由于，，故需满足，解得，
综上，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
8. 若实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数,利用导数研究其单调性即可得到和的关系.
详解】构造函数，则恒成立，
所以在单调递增，
因为，
所以，
即
所以，即,
∴,
因为，所以当时，,
故选：A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解.
【详解】记点分别为，第4个顶点为，
当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是；
当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是；
当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是.
故选：BCD
10. 关于函数的图象变换，下列说法正确的是（ ）
A. 将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
B. 将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
C. 将图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象
D. 将图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象
【答案】BC
【解析】
【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行逐一判断即可.
【详解】因为的图象向右平移个单位得到的图象，
所以选项A不正确；
因为的图象向右平移个单位得到的图象，
所以选项B正确；
因为图象上的点横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到图象，
所以选项C正确；
将图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象，
所以选项D不正确，
故选：BC
11. Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正确的是（ ）
A. ∠APB=120°B. ∠BPC=150°
C. 2BP=PCD. AP=PC
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，进而可确定P的位置，利用相似可确定BP、 AP、 PC之间的数量关系.
【详解】在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得||=||=||=1，
以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则，如图，
∵，即，即，
∴P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A正确，B错误；
∵AB，BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=2，∠ACB=60°，
在△ABC外部分别以BC､AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线CP绕C旋转60°交PD于P’，
∴，即，故，
，即，故，
∴为等边三角形，，则B，P，D三点共线，同理有A，P，E三点共线，
∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正确，
同理：△APC∽△ACB，即2，即AP=2PC，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若与共线，则的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示计算即可.
【详解】,
依题意,
解得,
故答案为：
13. 如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】在中，由，得，即，则，
由分别为的中点，得为的重心，
则，而，
所以
.
故答案为：
14. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先得到正弦函数的零点，根据条件得到在区间内不存在整数解，以及结合周期得到，从而确定或，即可求解的范围.
【详解】令，，得，，
由题意可知，，且，即，
若，得，
因为函数最值区间内没有零点，所以在区间内不存在整数解，
所以或，
即，解得：，
或，解得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键1是根据周期得到，关键2是根据的取值确定或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 对任意两个非零向量，，定义新运算：．
（1）若向量，，求的值；
（2）若非零向量，满足，且，求的取值范围；
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由坐标计算向量模长和数量积以及夹角的余弦值，再结合同角的三角函数关系和新运算定义可得；
（2）由新定义运算公式代入即可
【小问1详解】
向量，，则，，，
于是，而，则，
所以．
【小问2详解】
由，，得，则，
所以．
16. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点．

（1）以，为基底表示；
（2）若，求，的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量基本定理得到；
（2）先证明出向量共线的推论，推出，，从而得到方程组，求出，的值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
先证明以下结论，
若三点共线，，则有，
不妨设，则有，
所以，故，
所以，证毕；
连接，则
，

因为，，
所以，，
因为，，三点共线，，，三点共线，
所以，解得．
17. 已知向量，，函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若，且，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法得到不等式，求出单调递减区间，结合求出答案；
（2）根据求出，结合角的范围得到，利用余弦和角公式求出答案.
【小问1详解】
因为
，
所以，，解得，，
又因为，中，令得，
取其他整数均不合要求，
所以函数在上的单调递减区间为；
【小问2详解】
若，则，所以．
因为，所以，，
所以，
所以
，
故．
18. 已知在中，，，且的最小值为3，为边上任意一点，求的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律以及数量积的坐标表示求解.
【详解】因为
，
当且仅当时等号成立．
又因为的最小值为3，所以，
解得，所以．
如图所示建立直角坐标系，则，，，
设，．
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
19. 已知函数，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象．
（1）求函数的单调递增区间，并写出函数的解析式；
（2）关于的方程在内有两个不同的解；
①求实数的取值范围；
②用的代数式表示的值．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由二倍角的余弦，正弦，公式结合辅助角公式化简求出，再利用正弦函数的单调性求出单调区间即可；再三角函数平移的性质得到；
（2）①由与有两个交点再结合辅助角公式求出实数的取值范围；②设，则，或，利用两角和的正余弦展开式和反三角函数求出和，然后把，平方相加再利用积化和差，二倍角等化简即可；
【小问1详解】
，
因为，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
由图象平移的性质可得
【小问2详解】
① 由（1）可得，
因为关于的方程在内有两个不同的解，
即与有两个交点，其中，
所以；
② 不妨设，
则，或，
当时，
，
，
因为，，
所以，，
两式相加之后可得
，
由积化和差公式可得上式
，
所以
当，同理可证上述等式成立；
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是能利用函数图象关系得到则，或，然后再由三角恒等变换化简.